Номер 10, страница 109 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

10. В прямоугольном треугольнике ABC $AC = 3$, $BC = 4$, $\angle C = 90^\circ$.

Найдите объем и площадь поверхности тела вращения этого треугольника вокруг прямой AB.

Тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника ABC вокруг гипотенузы AB, представляет собой два конуса, соединенных общими основаниями. Вершины этих конусов находятся в точках A и B. Для нахождения объема и площади поверхности этого тела необходимо определить его ключевые параметры.

1. Найдем длину гипотенузы AB по теореме Пифагора. Длина гипотенузы равна сумме высот двух конусов, образующих тело вращения. $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

2. Радиусом ($r$) общего основания конусов является высота CH, проведенная из вершины прямого угла C к гипотенузе AB. Найдем длину этой высоты, используя метод площадей для треугольника ABC. Площадь треугольника, вычисленная через катеты: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$. Та же площадь, вычисленная через гипотенузу и высоту к ней: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH$. Приравняв два выражения для площади, получим: $\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot CH = 6$, откуда $CH = \frac{12}{5} = 2.4$. Таким образом, радиус основания конусов $r = \frac{12}{5}$.

3. Образующими ($l_1$ и $l_2$) боковых поверхностей конусов являются катеты исходного треугольника: $l_1 = AC = 3$ и $l_2 = BC = 4$.

Объем тела вращения

Объем ($V$) тела вращения равен сумме объемов двух конусов. Пусть высоты конусов равны $h_1 = AH$ и $h_2 = BH$. $V = V_1 + V_2 = \frac{1}{3}\pi r^2 h_1 + \frac{1}{3}\pi r^2 h_2 = \frac{1}{3}\pi r^2 (h_1 + h_2)$. Поскольку $h_1 + h_2 = AH + BH = AB$, формула для общего объема выглядит так: $V = \frac{1}{3}\pi r^2 \cdot AB$. Подставим известные значения: $V = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{12}{5}\right)^2 \cdot 5 = \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{144}{25} \cdot 5 = \frac{144\pi \cdot 5}{3 \cdot 25} = \frac{48\pi}{5}$.
Ответ: $V = \frac{48\pi}{5}$.

Площадь поверхности тела вращения

Площадь поверхности ($S$) тела вращения складывается из площадей боковых поверхностей двух конусов. Общее основание находится внутри тела, поэтому его площадь в расчете не участвует. $S = S_{бок1} + S_{бок2} = \pi r l_1 + \pi r l_2 = \pi r (l_1 + l_2)$. Подставим значения радиуса и образующих: $S = \pi \cdot \frac{12}{5} \cdot (3 + 4) = \pi \cdot \frac{12}{5} \cdot 7 = \frac{84\pi}{5}$.
Ответ: $S = \frac{84\pi}{5}$.