Номер 15, страница 109 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

15. В равнобедренном треугольнике $ABC$ $AC = BC = 1$, $\angle C = 120^\circ$.

Найдите объем и площадь поверхности тела вращения этого треугольника вокруг прямой $AC$.

Тело вращения, которое образуется при вращении равнобедренного треугольника $ABC$ вокруг прямой $AC$, представляет собой фигуру, состоящую из двух конусов с общим основанием. Поскольку угол при вершине $C$ тупой ($\angle C = 120^\circ$), высота $BH$, опущенная из вершины $B$ на прямую $AC$, пересекает продолжение стороны $AC$ за точкой $C$.

В результате вращения треугольника $ABC$ вокруг прямой $AC$ образуется тело, объем которого равен разности объемов двух конусов. Больший конус образуется вращением прямоугольного треугольника $ABH$ вокруг катета $AH$, а меньший — вращением прямоугольного треугольника $CBH$ вокруг катета $CH$. Площадь поверхности этого тела равна сумме площадей боковых поверхностей этих двух конусов.

Для начала найдем параметры этих конусов. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$. Угол $\angle BCH$ является смежным с углом $\angle BCA$, следовательно, $\angle BCH = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. В этом треугольнике гипотенуза $BC = 1$.

Радиус $r$ общего основания конусов равен длине катета $BH$:
$r = BH = BC \cdot \sin(\angle BCH) = 1 \cdot \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Высота меньшего конуса $h_1$ равна длине катета $CH$:
$h_1 = CH = BC \cdot \cos(\angle BCH) = 1 \cdot \cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.

Высота большего конуса $h_2$ равна длине катета $AH$:
$h_2 = AH = AC + CH = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

Образующая меньшего конуса $l_1$ — это сторона $BC$, то есть $l_1 = 1$.

Образующая большего конуса $l_2$ — это сторона $AB$. Найдем ее длину по теореме косинусов для треугольника $ABC$:
$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle C)$
$l_2^2 = AB^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ) = 1 + 1 - 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2 + 1 = 3$
$l_2 = AB = \sqrt{3}$.

Теперь, имея все необходимые размеры, можно вычислить объем и площадь поверхности тела вращения.

Объем

Объем тела вращения $V$ равен разности объемов большего конуса ($V_2$) и меньшего конуса ($V_1$). Формула объема конуса: $V_{конуса} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$.
$V = V_2 - V_1 = \frac{1}{3}\pi r^2 h_2 - \frac{1}{3}\pi r^2 h_1 = \frac{1}{3}\pi r^2 (h_2 - h_1)$.
Подставим найденные значения:
$V = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \left(\frac{3}{2} - \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{2} = \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{3}{4} \cdot 1 = \frac{\pi}{4}$.
Ответ: объем тела вращения равен $\frac{\pi}{4}$.

Площадь поверхности

Площадь поверхности тела вращения $S$ складывается из площадей боковых поверхностей большего ($S_{бок2}$) и меньшего ($S_{бок1}$) конусов. Формула площади боковой поверхности конуса: $S_{бок} = \pi r l$.
$S = S_{бок2} + S_{бок1} = \pi r l_2 + \pi r l_1 = \pi r (l_2 + l_1)$.
Подставим известные значения:
$S = \pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} (\sqrt{3} + 1) = \frac{\pi\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)}{2} = \frac{\pi(3 + \sqrt{3})}{2}$.
Ответ: площадь поверхности тела вращения равна $\frac{\pi(3 + \sqrt{3})}{2}$.