Номер 20, страница 110 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

20. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AB и CD, равными соответственно 2 см и 1 см, меньшей боковой стороной, равной 1 см, вокруг прямой CD.

Для решения задачи сначала определим параметры трапеции и затем представим тело вращения как композицию более простых тел.

Дана прямоугольная трапеция ABCD с основаниями AB и CD. Это означает, что $AB \parallel CD$. Так как трапеция прямоугольная, одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям. Пусть это будет сторона AD, тогда $AD \perp CD$ и $AD \perp AB$. В этом случае AD является высотой трапеции. Вторая боковая сторона — BC.

Найдем длины боковых сторон. Длину стороны BC можно найти из прямоугольного треугольника, образованного стороной BC, высотой, равной AD, и отрезком, равным разности оснований. Длина этого отрезка равна $|AB - CD| = |2 - 1| = 1$ см. По теореме Пифагора, $BC^2 = AD^2 + (AB - CD)^2 = AD^2 + 1^2$. Отсюда видно, что $BC = \sqrt{AD^2 + 1}$, что всегда больше, чем $AD$. Следовательно, меньшая боковая сторона — это AD.

По условию, длина меньшей боковой стороны равна 1 см, значит, высота трапеции $h = AD = 1$ см.

Вращение происходит вокруг прямой CD. Для удобства вычислений поместим трапецию в декартову систему координат. Пусть прямая CD совпадает с осью абсцисс (Ox), а вершина D — с началом координат. Тогда вершины трапеции будут иметь следующие координаты:

• D(0, 0)
• C(1, 0) (так как CD = 1 см)
• A(0, 1) (так как AD = 1 см и $AD \perp CD$)
• B(2, 1) (так как AB = 2 см и $AB \parallel CD$)

Тело, полученное при вращении этой трапеции вокруг оси Ox, можно рассматривать как цилиндр, из которого с одной стороны вырезан конус.

Объем

Объем тела вращения можно найти как разность объемов двух тел:

1. Объема цилиндра, который образуется при вращении прямоугольника с вершинами в точках (0,0), (2,0), (2,1) и (0,1) вокруг оси Ox.
2. Объема конуса, который образуется при вращении прямоугольного треугольника с вершинами в точках (1,0), (2,0) и (2,1) вокруг оси Ox.

Объем цилиндра ($V_{цил}$) с радиусом основания $R = AD = 1$ см и высотой $H = AB = 2$ см (длина отрезка от x=0 до x=2) равен: $V_{цил} = \pi R^2 H = \pi \cdot 1^2 \cdot 2 = 2\pi$ см$^3$.

Объем конуса ($V_{кон}$) с радиусом основания $r = 1$ см и высотой $h = 2 - 1 = 1$ см равен: $V_{кон} = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot 1^2 \cdot 1 = \frac{\pi}{3}$ см$^3$.

Объем искомого тела вращения $V$ равен разности объемов цилиндра и конуса: $V = V_{цил} - V_{кон} = 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{6\pi - \pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$ см$^3$.

Ответ: объем тела вращения равен $\frac{5\pi}{3}$ см$^3$.

Площадь поверхности

Площадь поверхности тела вращения складывается из площадей поверхностей, образованных вращением сторон трапеции, которые не лежат на оси вращения. Такими сторонами являются AD, AB и BC. Сторона CD лежит на оси вращения и не создает поверхности.

1. Вращение стороны AD (отрезок от (0,0) до (0,1)) вокруг оси Ox образует круг с радиусом $r_{AD} = 1$ см. Это одно из оснований тела. Его площадь $S_{AD}$: $S_{AD} = \pi r_{AD}^2 = \pi \cdot 1^2 = \pi$ см$^2$.
2. Вращение стороны AB (отрезок от (0,1) до (2,1)) образует боковую поверхность цилиндра с радиусом $R = 1$ см и высотой $H = 2$ см. Ее площадь $S_{AB}$: $S_{AB} = 2\pi R H = 2\pi \cdot 1 \cdot 2 = 4\pi$ см$^2$.
3. Вращение стороны BC (отрезок от (2,1) до (1,0)) образует боковую поверхность конуса. Радиус основания этого конуса $r_{BC} = 1$ см. Образующая конуса $l$ равна длине отрезка BC: $l = \sqrt{(2-1)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ см. Площадь этой конической поверхности $S_{BC}$: $S_{BC} = \pi r_{BC} l = \pi \cdot 1 \cdot \sqrt{2} = \pi\sqrt{2}$ см$^2$.

Полная площадь поверхности тела вращения $S$ равна сумме этих трех площадей: $S = S_{AD} + S_{AB} + S_{BC} = \pi + 4\pi + \pi\sqrt{2} = 5\pi + \pi\sqrt{2} = \pi(5 + \sqrt{2})$ см$^2$.

Ответ: площадь поверхности тела вращения равна $\pi(5 + \sqrt{2})$ см$^2$.