Страница 110 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

16. В прямоугольном треугольнике $ABC$ $AC = 3$, $BC = 4$, $\angle C = 90^\circ$, $CH$ — высота. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения этого треугольника вокруг прямой $CH$.

Тело, которое образуется при вращении прямоугольного треугольника $ABC$ вокруг высоты $CH$, состоит из двух конусов. У этих конусов общая вершина в точке $C$ и общая высота, равная длине отрезка $CH$. Их основания лежат в одной плоскости, которая перпендикулярна оси вращения $CH$.

Для нахождения объема и площади поверхности тела вращения сначала вычислим ключевые размеры треугольника:

1. Найдем длину гипотенузы $AB$ по теореме Пифагора:
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

2. Найдем высоту $CH$, проведенную к гипотенузе, используя формулу площади треугольника:
Площадь $S$ треугольника $ABC$ можно вычислить как $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$.
С другой стороны, $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH$.
Приравнивая два выражения для площади, получаем: $6 = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot CH$, откуда $CH = \frac{12}{5} = 2.4$.

3. Найдем длины проекций катетов на гипотенузу — отрезков $AH$ и $BH$. Из прямоугольного треугольника $ACH$ по теореме Пифагора:
$AH = \sqrt{AC^2 - CH^2} = \sqrt{3^2 - (\frac{12}{5})^2} = \sqrt{9 - \frac{144}{25}} = \sqrt{\frac{225 - 144}{25}} = \sqrt{\frac{81}{25}} = \frac{9}{5} = 1.8$.
Длину отрезка $BH$ можно найти как разность: $BH = AB - AH = 5 - \frac{9}{5} = \frac{25-9}{5} = \frac{16}{5} = 3.2$.

Таким образом, тело вращения состоит из двух конусов со следующими параметрами:
Первый конус: высота $h = CH = \frac{12}{5}$, радиус основания $R_1 = AH = \frac{9}{5}$, образующая $l_1 = AC = 3$.
Второй конус: высота $h = CH = \frac{12}{5}$, радиус основания $R_2 = BH = \frac{16}{5}$, образующая $l_2 = BC = 4$.

Объем тела вращения

Объем тела вращения $V$ равен сумме объемов двух конусов ($V_1$ и $V_2$).
$V = V_1 + V_2 = \frac{1}{3}\pi R_1^2 h + \frac{1}{3}\pi R_2^2 h = \frac{1}{3}\pi h (R_1^2 + R_2^2)$.
Подставим значения:
$V = \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{12}{5} \left( \left(\frac{9}{5}\right)^2 + \left(\frac{16}{5}\right)^2 \right) = \frac{4\pi}{5} \left( \frac{81}{25} + \frac{256}{25} \right) = \frac{4\pi}{5} \cdot \frac{337}{25} = \frac{1348\pi}{125}$.
Ответ: Объем тела вращения равен $\frac{1348\pi}{125}$.

Площадь поверхности тела вращения

Площадь поверхности тела вращения $S$ равна сумме площадей боковых поверхностей двух конусов ($S_1$ и $S_2$), так как их основания находятся внутри тела.
$S = S_1 + S_2 = \pi R_1 l_1 + \pi R_2 l_2$.
Подставим значения:
$S = \pi \cdot \frac{9}{5} \cdot 3 + \pi \cdot \frac{16}{5} \cdot 4 = \frac{27\pi}{5} + \frac{64\pi}{5} = \frac{91\pi}{5}$.
Ответ: Площадь поверхности тела вращения равна $\frac{91\pi}{5}$.

17. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения ромба ABCD со сторонами, равными 1 см, и острым углом $60^{\circ}$, вокруг прямой AB.

Для решения задачи рассмотрим ромб ABCD со стороной $a = 1$ см и острым углом $\angle A = 60°$. Ромб вращается вокруг прямой, содержащей сторону AB.

Поскольку острый угол ромба равен $60°$, ромб состоит из двух равносторонних треугольников ABD и BCD со стороной 1 см.

Опустим перпендикуляры из вершин D и C на прямую AB. Пусть их основаниями будут точки H₁ и H₂ соответственно.

Высота ромба, которая будет радиусом вращения для некоторых частей тела, равна: $h = AD \cdot \sin(60°) = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см. Таким образом, $DH₁ = CH₂ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Тело вращения можно представить как комбинацию нескольких более простых тел:

• Вращение стороны AD вокруг прямой AB образует конус с вершиной в точке A.
• Вращение стороны DC образует боковую поверхность цилиндра.
• Вращение стороны BC образует конус с вершиной в точке B.

Проанализируем геометрию тела. Оно состоит из цилиндра, образованного вращением прямоугольника DСH₂H₁, к одному основанию которого присоединен конус (от вращения $\triangle ADH₁$), а из другого основания вырезан конус (соответствующий вращению $\triangle BCH₂$).

Найдем параметры этих тел:

• Радиус основания цилиндра и конусов равен высоте ромба: $r = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.
• Высота цилиндра равна длине стороны ромба, так как сторона DC параллельна стороне AB: $h_{цил} = DC = 1$ см.
• Высота первого конуса (с вершиной A): $h_{кон1} = AH₁ = AD \cdot \cos(60°) = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ см. Образующая этого конуса $l_1 = AD = 1$ см.
• Высота второго конуса (с вершиной B): $\angle ABC = 180° - 60° = 120°$. Тогда $h_{кон2} = BH₂ = BC \cdot \cos(180°-120°) = 1 \cdot \cos(60°) = \frac{1}{2}$ см. Образующая этого конуса $l_2 = BC = 1$ см.

Объем

Объем тела вращения равен объему цилиндра плюс объем присоединенного конуса минус объем вырезанного конуса.

Объем цилиндра: $V_{цил} = \pi r^2 h_{цил} = \pi \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \cdot 1 = \pi \cdot \frac{3}{4} \cdot 1 = \frac{3\pi}{4}$ см³.

Объем первого (присоединенного) конуса: $V_{кон1} = \frac{1}{3} \pi r^2 h_{кон1} = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{3} \pi \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\pi}{8}$ см³.

Объем второго (вырезанного) конуса: $V_{кон2} = \frac{1}{3} \pi r^2 h_{кон2} = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{3} \pi \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\pi}{8}$ см³.

Суммарный объем тела: $V = V_{цил} + V_{кон1} - V_{кон2} = \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{8} - \frac{\pi}{8} = \frac{3\pi}{4}$ см³.

Ответ: $V = \frac{3\pi}{4}$ см³.

Площадь поверхности

Площадь поверхности тела вращения состоит из суммы площадей боковых поверхностей цилиндра и двух конусов (внешнего и внутреннего). Сторона AB лежит на оси вращения и вклада в площадь поверхности не дает.

Площадь боковой поверхности цилиндра (от вращения стороны DC): $S_{цил} = 2\pi r h_{цил} = 2\pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \pi\sqrt{3}$ см².

Площадь боковой поверхности первого конуса (от вращения стороны AD): $S_{кон1} = \pi r l_1 = \pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \frac{\pi\sqrt{3}}{2}$ см².

Площадь боковой поверхности второго конуса (от вращения стороны BC): $S_{кон2} = \pi r l_2 = \pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \frac{\pi\sqrt{3}}{2}$ см².

Суммарная площадь поверхности тела: $S = S_{цил} + S_{кон1} + S_{кон2} = \pi\sqrt{3} + \frac{\pi\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi\sqrt{3}}{2} = \pi\sqrt{3} + \pi\sqrt{3} = 2\pi\sqrt{3}$ см².

Ответ: $S = 2\pi\sqrt{3}$ см².

18. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения равнобедренной трапеции $ABCD$ с боковыми сторонами $AD$ и $BC$, равными 1 см, и основаниями $AB$ и $CD$, равными соответственно 2 см и 1 см, вокруг прямой $CD$.

Для решения задачи сначала найдем высоту равнобедренной трапеции. Пусть $h$ — высота трапеции. Проведем высоты из вершин $D$ и $C$ к основанию $AB$. Пусть их основаниями будут точки $H$ и $K$ соответственно. Так как трапеция равнобедренная, отрезки $AH$ и $KB$ равны.

Длина отрезка $HK$ равна длине меньшего основания $CD$, то есть $HK=1$ см. Тогда длину отрезка $AH$ можно найти как:$AH = \frac{AB - HK}{2} = \frac{2 - 1}{2} = 0.5$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $AHD$. По теореме Пифагора найдем высоту трапеции $h = DH$:$h^2 = AD^2 - AH^2 = 1^2 - (0.5)^2 = 1 - 0.25 = 0.75$$h = \sqrt{0.75} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Объем тела вращения

Тело, полученное при вращении трапеции $ABCD$ вокруг прямой $CD$, можно представить как цилиндр, из которого с двух торцов удалены конусы. Чтобы это увидеть, мы можем мысленно достроить трапецию до прямоугольника, проведя через вершины $A$ и $B$ прямые, перпендикулярные оси вращения $CD$.

Объем тела вращения будет равен объему цилиндра, образованного вращением этого прямоугольника, за вычетом объемов двух конусов, образованных вращением треугольных частей.

1. Объем цилиндра. Радиус цилиндра $r$ равен высоте трапеции $h = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см. Высота цилиндра $H$ равна длине большего основания трапеции $AB = 2$ см.$V_{цил} = \pi r^2 H = \pi \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \cdot 2 = \pi \cdot \frac{3}{4} \cdot 2 = \frac{3\pi}{2}$ см³.

2. Объемы конусов. Два удаляемых конуса одинаковы. Вершины этих конусов лежат на оси вращения. Высота каждого конуса равна $H_к = AH = 0.5$ см. Радиус основания каждого конуса равен высоте трапеции $r_к = h = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.Объем одного конуса:$V_{конус} = \frac{1}{3}\pi r_к^2 H_к = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \cdot 0.5 = \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\pi}{8}$ см³.

3. Объем тела вращения. Искомый объем равен разности объема цилиндра и объемов двух конусов:$V = V_{цил} - 2 \cdot V_{конус} = \frac{3\pi}{2} - 2 \cdot \frac{\pi}{8} = \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{6\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$ см³.

Ответ: $V = \frac{5\pi}{4}$ см³.

Площадь поверхности тела вращения

Поверхность тела вращения состоит из трех частей: площади боковой поверхности цилиндра (от вращения основания $AB$) и площадей боковых поверхностей двух конусов (от вращения боковых сторон $AD$ и $BC$).

1. Площадь цилиндрической поверхности. Образуется вращением отрезка $AB$ вокруг прямой $CD$. Радиус вращения равен высоте трапеции $r = h = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см. Длина образующей равна длине отрезка $AB=2$ см.$S_{цил} = 2\pi r \cdot L_{AB} = 2\pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2 = 2\pi\sqrt{3}$ см².

2. Площадь конической поверхности от вращения $AD$. Боковая сторона $AD$ является образующей конуса, ее длина $l=1$ см. Вершина конуса лежит на оси вращения. Радиус основания конуса равен высоте трапеции $r = h = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.$S_{конус1} = \pi r l = \pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \frac{\pi\sqrt{3}}{2}$ см².

3. Площадь конической поверхности от вращения $BC$. Эта поверхность идентична предыдущей, так как $BC=AD=1$ см.$S_{конус2} = \frac{\pi\sqrt{3}}{2}$ см².

4. Полная площадь поверхности. Суммируем площади всех частей:$S_{полн} = S_{цил} + S_{конус1} + S_{конус2} = 2\pi\sqrt{3} + \frac{\pi\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi\sqrt{3}}{2} = 2\pi\sqrt{3} + \pi\sqrt{3} = 3\pi\sqrt{3}$ см².

Ответ: $S = 3\pi\sqrt{3}$ см².

19. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения равнобедренной трапеции $ABCD$ с боковыми сторонами $AD$ и $BC$, равными 1 см, и основаниями $AB$ и $CD$, равными соответственно 2 см и 1 см, вокруг прямой $c$, содержащей среднюю линию этой трапеции.

Объем

Для нахождения объема тела вращения, образованного вращением равнобедренной трапеции ABCD вокруг прямой, содержащей ее среднюю линию, воспользуемся методом разложения тела на более простые составные части.

1. Найдем высоту трапеции. Пусть основания трапеции $AB = a = 2$ см и $CD = b = 1$ см. Боковые стороны $AD = BC = l = 1$ см. Проведем высоты из вершин C и D к основанию AB. Так как трапеция равнобедренная, они отсекут на большем основании отрезки, равные $(a-b)/2$.$$ \frac{a-b}{2} = \frac{2-1}{2} = 0.5 \text{ см} $$Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной, высотой $h$ и отрезком 0.5 см. По теореме Пифагора:$$ h^2 + (0.5)^2 = l^2 $$$$ h^2 + 0.25 = 1^2 $$$$ h^2 = 0.75 $$$$ h = \sqrt{0.75} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ см} $$

2. Ось вращения — средняя линия трапеции. Она делит трапецию на две меньшие трапеции. Мы можем рассчитать объемы тел вращения, образованных этими двумя частями, и сложить их. Расстояние от средней линии до каждого из оснований равно $h/2 = \frac{\sqrt{3}}{4}$ см. Длина средней линии $m = (a+b)/2 = (2+1)/2 = 1.5$ см.

3. Объем $V_{верх}$, образованный вращением верхней трапеции (с основаниями 1 см и 1.5 см и высотой $\frac{\sqrt{3}}{4}$ см) вокруг ее большего основания (средней линии). Это тело состоит из цилиндра и двух одинаковых конусов.

• Радиус основания цилиндра и конусов равен высоте этой трапеции: $r = h/2 = \frac{\sqrt{3}}{4}$ см.
• Длина цилиндра равна меньшему основанию: $L_{цил} = b = 1$ см.
• Высота каждого конуса: $H_{кон} = (m-b)/2 = (1.5-1)/2 = 0.25$ см.

4. Объем $V_{низ}$, образованный вращением нижней трапеции (с основаниями 2 см и 1.5 см и высотой $\frac{\sqrt{3}}{4}$ см) вокруг ее меньшего основания (средней линии). Это тело представляет собой цилиндр, из которого вырезаны два одинаковых конуса.

• Радиус основания цилиндра и конусов: $r = h/2 = \frac{\sqrt{3}}{4}$ см.
• Для нахождения объема можно представить тело как цилиндр с длиной, равной большему основанию $a=2$ см, из которого вычитаются два конуса.
• Высота каждого конуса: $H_{кон} = (a-m)/2 = (2-1.5)/2 = 0.25$ см.

5. Общий объем тела вращения равен сумме объемов верхней и нижней частей.$$ V = V_{верх} + V_{низ} = \frac{7\pi}{32} + \frac{11\pi}{32} = \frac{18\pi}{32} = \frac{9\pi}{16} \text{ см}^3 $$Ответ: объем тела вращения равен $\frac{9\pi}{16}$ см³.

Площадь поверхности

Площадь поверхности тела вращения состоит из трех частей: площади поверхности, образованной вращением основания AB (внешняя), площади поверхности, образованной вращением основания CD (внутренняя), и площадей двух поверхностей, образованных вращением боковых сторон AD и BC.

1. Площадь $S_{AB}$, образованная вращением основания AB. Это боковая поверхность цилиндра с радиусом $r = h/2 = \frac{\sqrt{3}}{4}$ см и образующей $L = AB = 2$ см.$$ S_{AB} = 2\pi r L = 2\pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 2 = \pi\sqrt{3} \text{ см}^2 $$

2. Площадь $S_{CD}$, образованная вращением основания CD. Это боковая поверхность цилиндра с радиусом $r = h/2 = \frac{\sqrt{3}}{4}$ см и образующей $L = CD = 1$ см.$$ S_{CD} = 2\pi r L = 2\pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 1 = \frac{\pi\sqrt{3}}{2} \text{ см}^2 $$

3. Площадь $S_{бок}$, образованная вращением одной боковой стороны (например, BC). Длина стороны $l=1$ см. Для нахождения площади этой поверхности воспользуемся интегральной формулой $S = \int 2\pi \rho \, dl$, где $\rho$ - расстояние от оси вращения до элемента длины $dl$.Поместим трапецию в систему координат так, чтобы средняя линия совпала с осью Ox, а ось симметрии трапеции - с осью Oy. Координаты вершин: $B(1, -\frac{\sqrt{3}}{4})$ и $C(0.5, \frac{\sqrt{3}}{4})$.Уравнение прямой BC: $y = -\sqrt{3}x + \frac{3\sqrt{3}}{4}$. Элемент длины дуги $dl = \sqrt{1+(y')^2}dx = \sqrt{1+(-\sqrt{3})^2}dx = 2dx$. Расстояние до оси вращения $\rho = |y|$.$$ S_{BC} = \int_{0.5}^{1} 2\pi |y(x)| \, dl = \int_{0.5}^{1} 2\pi |-\sqrt{3}x + \frac{3\sqrt{3}}{4}| (2dx) = 4\pi\sqrt{3} \int_{0.5}^{1} |x - \frac{3}{4}| dx $$Точка, где выражение под модулем меняет знак, это $x=3/4=0.75$.$$ \int_{0.5}^{1} |x-\frac{3}{4}| dx = \int_{0.5}^{0.75} (\frac{3}{4}-x) dx + \int_{0.75}^{1} (x-\frac{3}{4}) dx $$$$ = \left[-\frac{(3/4-x)^2}{2}\right]_{0.5}^{0.75} + \left[\frac{(x-3/4)^2}{2}\right]_{0.75}^{1} = \left(0 - (-\frac{(1/4)^2}{2})\right) + \left(\frac{(1/4)^2}{2} - 0\right) = \frac{1}{32} + \frac{1}{32} = \frac{1}{16} $$Таким образом, площадь поверхности, образованной вращением стороны BC:$$ S_{BC} = 4\pi\sqrt{3} \cdot \frac{1}{16} = \frac{\pi\sqrt{3}}{4} \text{ см}^2 $$Площадь от вращения двух боковых сторон (AD и BC) будет вдвое больше: $S_{бок} = 2 \cdot S_{BC} = 2 \cdot \frac{\pi\sqrt{3}}{4} = \frac{\pi\sqrt{3}}{2}$ см².

4. Общая площадь поверхности тела вращения:$$ S_{общ} = S_{AB} + S_{CD} + S_{бок} = \pi\sqrt{3} + \frac{\pi\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi\sqrt{3}}{2} = \pi\sqrt{3} + \pi\sqrt{3} = 2\pi\sqrt{3} \text{ см}^2 $$Ответ: площадь поверхности тела вращения равна $2\pi\sqrt{3}$ см².

20. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AB и CD, равными соответственно 2 см и 1 см, меньшей боковой стороной, равной 1 см, вокруг прямой CD.

Для решения задачи сначала определим параметры трапеции и затем представим тело вращения как композицию более простых тел.

Дана прямоугольная трапеция ABCD с основаниями AB и CD. Это означает, что $AB \parallel CD$. Так как трапеция прямоугольная, одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям. Пусть это будет сторона AD, тогда $AD \perp CD$ и $AD \perp AB$. В этом случае AD является высотой трапеции. Вторая боковая сторона — BC.

Найдем длины боковых сторон. Длину стороны BC можно найти из прямоугольного треугольника, образованного стороной BC, высотой, равной AD, и отрезком, равным разности оснований. Длина этого отрезка равна $|AB - CD| = |2 - 1| = 1$ см. По теореме Пифагора, $BC^2 = AD^2 + (AB - CD)^2 = AD^2 + 1^2$. Отсюда видно, что $BC = \sqrt{AD^2 + 1}$, что всегда больше, чем $AD$. Следовательно, меньшая боковая сторона — это AD.

По условию, длина меньшей боковой стороны равна 1 см, значит, высота трапеции $h = AD = 1$ см.

Вращение происходит вокруг прямой CD. Для удобства вычислений поместим трапецию в декартову систему координат. Пусть прямая CD совпадает с осью абсцисс (Ox), а вершина D — с началом координат. Тогда вершины трапеции будут иметь следующие координаты:

• D(0, 0)
• C(1, 0) (так как CD = 1 см)
• A(0, 1) (так как AD = 1 см и $AD \perp CD$)
• B(2, 1) (так как AB = 2 см и $AB \parallel CD$)

Тело, полученное при вращении этой трапеции вокруг оси Ox, можно рассматривать как цилиндр, из которого с одной стороны вырезан конус.

Объем

Объем тела вращения можно найти как разность объемов двух тел:

1. Объема цилиндра, который образуется при вращении прямоугольника с вершинами в точках (0,0), (2,0), (2,1) и (0,1) вокруг оси Ox.
2. Объема конуса, который образуется при вращении прямоугольного треугольника с вершинами в точках (1,0), (2,0) и (2,1) вокруг оси Ox.

Объем цилиндра ($V_{цил}$) с радиусом основания $R = AD = 1$ см и высотой $H = AB = 2$ см (длина отрезка от x=0 до x=2) равен: $V_{цил} = \pi R^2 H = \pi \cdot 1^2 \cdot 2 = 2\pi$ см$^3$.

Объем конуса ($V_{кон}$) с радиусом основания $r = 1$ см и высотой $h = 2 - 1 = 1$ см равен: $V_{кон} = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot 1^2 \cdot 1 = \frac{\pi}{3}$ см$^3$.

Объем искомого тела вращения $V$ равен разности объемов цилиндра и конуса: $V = V_{цил} - V_{кон} = 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{6\pi - \pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$ см$^3$.

Ответ: объем тела вращения равен $\frac{5\pi}{3}$ см$^3$.

Площадь поверхности

Площадь поверхности тела вращения складывается из площадей поверхностей, образованных вращением сторон трапеции, которые не лежат на оси вращения. Такими сторонами являются AD, AB и BC. Сторона CD лежит на оси вращения и не создает поверхности.

1. Вращение стороны AD (отрезок от (0,0) до (0,1)) вокруг оси Ox образует круг с радиусом $r_{AD} = 1$ см. Это одно из оснований тела. Его площадь $S_{AD}$: $S_{AD} = \pi r_{AD}^2 = \pi \cdot 1^2 = \pi$ см$^2$.
2. Вращение стороны AB (отрезок от (0,1) до (2,1)) образует боковую поверхность цилиндра с радиусом $R = 1$ см и высотой $H = 2$ см. Ее площадь $S_{AB}$: $S_{AB} = 2\pi R H = 2\pi \cdot 1 \cdot 2 = 4\pi$ см$^2$.
3. Вращение стороны BC (отрезок от (2,1) до (1,0)) образует боковую поверхность конуса. Радиус основания этого конуса $r_{BC} = 1$ см. Образующая конуса $l$ равна длине отрезка BC: $l = \sqrt{(2-1)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ см. Площадь этой конической поверхности $S_{BC}$: $S_{BC} = \pi r_{BC} l = \pi \cdot 1 \cdot \sqrt{2} = \pi\sqrt{2}$ см$^2$.

Полная площадь поверхности тела вращения $S$ равна сумме этих трех площадей: $S = S_{AD} + S_{AB} + S_{BC} = \pi + 4\pi + \pi\sqrt{2} = 5\pi + \pi\sqrt{2} = \pi(5 + \sqrt{2})$ см$^2$.

Ответ: площадь поверхности тела вращения равна $\pi(5 + \sqrt{2})$ см$^2$.

21. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения правильного шестиугольника ABCDEF со стороной 1 см вокруг прямой AB.

Для решения задачи представим тело вращения и используем геометрические формулы и теоремы Паппа-Гульдина.

Правильный шестиугольник ABCDEF со стороной $a=1$ см вращается вокруг прямой, содержащей сторону AB.

Объем тела вращения

Объем тела вращения можно найти с помощью первой теоремы Паппа-Гульдина, которая гласит, что объем тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг внешней оси, равен произведению площади этой фигуры $S$ на длину окружности $2 \pi R$, описываемой центром масс (центроидом) фигуры.

Формула объема: $V = 2 \pi R S$.

1. Найдем площадь шестиугольника (S). Правильный шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников со стороной $a$. Площадь одного такого треугольника равна $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

$S = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$.

Поскольку $a=1$ см, площадь шестиугольника: $S = \frac{3\sqrt{3}}{2} \text{ см}^2$.

2. Найдем расстояние от центроида шестиугольника до оси вращения (R). Центроид правильного шестиугольника находится в его геометрическом центре. Ось вращения проходит через сторону AB. Расстояние от центра шестиугольника до его стороны равно апофеме, которая является высотой одного из равносторонних треугольников.

$R = h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

При $a=1$ см, расстояние $R = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

3. Вычислим объем (V).

$V = 2 \pi R S = 2 \pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} = \pi\sqrt{3} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{3\pi(\sqrt{3})^2}{2} = \frac{3\pi \cdot 3}{2} = \frac{9\pi}{2}$.

Ответ: Объем тела вращения равен $\frac{9\pi}{2}$ см$^3$.

Площадь поверхности тела вращения

Площадь поверхности тела вращения складывается из площадей поверхностей, образованных вращением сторон BC, CD, DE, EF и FA. Сторона AB лежит на оси вращения и вклада в площадь не дает.

Поверхность, образуемая вращением отрезка прямой, является боковой поверхностью усеченного конуса (или конуса, или цилиндра). Ее площадь вычисляется по формуле $A = \pi(r_1 + r_2)l$, где $r_1$ и $r_2$ — расстояния концов отрезка до оси вращения, а $l$ — длина отрезка.

Для определения радиусов $r$ введем систему координат. Пусть ось вращения AB совпадает с осью Ox, а середина отрезка AB — с началом координат. Тогда при $a=1$ см вершины будут иметь следующие координаты:

$A = (-1/2, 0)$, $B = (1/2, 0)$

$C = (1, \sqrt{3}/2)$

$D = (1/2, \sqrt{3})$

$E = (-1/2, \sqrt{3})$

$F = (-1, \sqrt{3}/2)$

Длина каждого вращаемого отрезка $l=a=1$ см.

1. Вращение отрезка BC. Концы отрезка находятся на расстояниях $r_B = 0$ и $r_C = \frac{\sqrt{3}}{2}$ от оси Ox. Площадь полученной поверхности (боковая поверхность конуса):

$A_{BC} = \pi(0 + \frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot 1 = \frac{\pi\sqrt{3}}{2}$.

2. Вращение отрезка FA. По симметрии, $A_{FA} = A_{BC} = \frac{\pi\sqrt{3}}{2}$.

3. Вращение отрезка CD. Концы отрезка находятся на расстояниях $r_C = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $r_D = \sqrt{3}$ от оси Ox. Площадь полученной поверхности (боковая поверхность усеченного конуса):

$A_{CD} = \pi(\frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3}) \cdot 1 = \pi(\frac{3\sqrt{3}}{2}) = \frac{3\pi\sqrt{3}}{2}$.

4. Вращение отрезка EF. По симметрии, $A_{EF} = A_{CD} = \frac{3\pi\sqrt{3}}{2}$.

5. Вращение отрезка DE. Отрезок DE параллелен оси вращения Ox и находится на расстоянии $r = \sqrt{3}$ от нее. При вращении он образует боковую поверхность цилиндра с радиусом $r = \sqrt{3}$ и высотой, равной длине отрезка DE, то есть $1$.

$A_{DE} = 2\pi r l = 2\pi \sqrt{3} \cdot 1 = 2\pi\sqrt{3}$.

6. Суммарная площадь поверхности.

$A_{общ} = A_{BC} + A_{FA} + A_{CD} + A_{EF} + A_{DE}$

$A_{общ} = \frac{\pi\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi\sqrt{3}}{2} + \frac{3\pi\sqrt{3}}{2} + \frac{3\pi\sqrt{3}}{2} + 2\pi\sqrt{3}$

$A_{общ} = \pi\sqrt{3} + 3\pi\sqrt{3} + 2\pi\sqrt{3} = (1+3+2)\pi\sqrt{3} = 6\pi\sqrt{3}$.

Ответ: Площадь поверхности тела вращения равна $6\pi\sqrt{3}$ см$^2$.

шестиугольника ABCDEF со стороной 1 см вокруг прямой AD.

22. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения правильного шестиугольника ABCDEF со стороной 1 см вокруг прямой AC.

Объем тела вращения

Рассмотрим правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной $a=1$ см. Ось вращения — прямая $AC$.

1. Определим геометрические параметры.
Длина стороны шестиугольника $a=1$. Все внутренние углы равны $120^\circ$.
Найдем длину диагонали $AC$ по теореме косинусов для треугольника $ABC$, где $AB=BC=1$ и $\angle ABC = 120^\circ$:
$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(120^\circ) = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = 1+1+1=3$.
Таким образом, $AC = \sqrt{3}$ см.

2. Разделим тело вращения на части.
Тело вращения можно представить как сумму объемов двух тел, образованных вращением вокруг прямой $AC$ многоугольников, на которые эта прямая делит шестиугольник: треугольника $ABC$ и пятиугольника $ACDEF$.
$V = V_{rot(ABC)} + V_{rot(ACDEF)}$.

3. Найдем объем тела, образованного вращением $\triangle ABC$.
При вращении $\triangle ABC$ вокруг стороны $AC$ образуется тело, состоящее из двух конусов с общим основанием. Радиус этого основания $r_B$ равен высоте треугольника $ABC$, опущенной из вершины $B$ на сторону $AC$.
Площадь $\triangle ABC$: $S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot BC \cdot \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.
С другой стороны, $S_{ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot r_B$. Отсюда $r_B = \frac{2 S_{ABC}}{AC} = \frac{2 \cdot (\sqrt{3}/4)}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$ см.
Объем этого тела вращения (двойного конуса) равен: $V_{rot(ABC)} = \frac{1}{3} \pi r_B^2 \cdot AC = \frac{1}{3} \pi (\frac{1}{2})^2 \sqrt{3} = \frac{\pi\sqrt{3}}{12}$ см$^3$.

4. Найдем объем тела, образованного вращением пятиугольника $ACDEF$.
Это тело можно разложить на более простые. Определим расстояния от вершин $D, E, F$ до оси вращения $AC$.
- Угол $\angle FAB = 120^\circ$. В $\triangle ABC$, $\angle CAB = \angle BCA = 30^\circ$. Тогда $\angle FAC = \angle FAB - \angle CAB = 120^\circ - 30^\circ = 90^\circ$. Это значит, что $AF \perp AC$. Расстояние от точки $F$ до прямой $AC$ равно длине отрезка $AF$, то есть $r_F = 1$. Проекция точки $F$ на прямую $AC$ — это точка $A$.
- Аналогично, $\angle BCD = 120^\circ$. Тогда $\angle ACD = \angle BCD - \angle BCA = 120^\circ - 30^\circ = 90^\circ$. Это значит, что $CD \perp AC$. Расстояние от точки $D$ до прямой $AC$ равно $r_D = CD = 1$. Проекция точки $D$ на прямую $AC$ — это точка $C$.
- Диагонали $AE$ и $AC$ равны, $AE=AC=\sqrt{3}$. Сторона $CE=1$. Треугольник $AEC$ — равнобедренный. Можно показать, что он равносторонний со стороной $\sqrt{3}$. Расстояние от точки $E$ до прямой $AC$ — это высота $r_E$ равностороннего треугольника $AEC$, опущенная на сторону $AC$. $r_E = \frac{(\sqrt{3}) \sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2}$. Проекция точки $E$ на прямую $AC$ — это середина отрезка $AC$.
Тело вращения $V_{rot(ACDEF)}$ состоит из двух усеченных конусов, полученных вращением отрезков $FE$ и $ED$.
- Вращение отрезка $FE$: образует усеченный конус с высотой $h_1 = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, радиусами оснований $R_1=r_E=\frac{3}{2}$ и $r_1=r_F=1$. $V_1 = \frac{1}{3}\pi h_1 (R_1^2 + R_1 r_1 + r_1^2) = \frac{1}{3}\pi \frac{\sqrt{3}}{2} ((\frac{3}{2})^2 + \frac{3}{2}\cdot 1 + 1^2) = \frac{\pi\sqrt{3}}{6} (\frac{9}{4} + \frac{3}{2} + 1) = \frac{\pi\sqrt{3}}{6} (\frac{9+6+4}{4}) = \frac{19\pi\sqrt{3}}{24}$.
- Вращение отрезка $ED$: образует усеченный конус с высотой $h_2 = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, радиусами оснований $R_2=r_E=\frac{3}{2}$ и $r_2=r_D=1$. $V_2 = V_1 = \frac{19\pi\sqrt{3}}{24}$.
$V_{rot(ACDEF)} = V_1 + V_2 = 2 \cdot \frac{19\pi\sqrt{3}}{24} = \frac{19\pi\sqrt{3}}{12}$ см$^3$.

5. Найдем общий объем.
$V = V_{rot(ABC)} + V_{rot(ACDEF)} = \frac{\pi\sqrt{3}}{12} + \frac{19\pi\sqrt{3}}{12} = \frac{20\pi\sqrt{3}}{12} = \frac{5\pi\sqrt{3}}{3}$ см$^3$.

Ответ: объем тела вращения равен $\frac{5\pi\sqrt{3}}{3}$ см$^3$.

Площадь поверхности тела вращения

1. Определим образующие поверхности.
Площадь поверхности тела вращения состоит из площадей боковых поверхностей тел, образованных вращением сторон шестиугольника (кроме тех, что лежат на оси вращения). Ось вращения проходит через прямую $AC$, поэтому стороны $AB, BC, CD, DE, EF, FA$ участвуют в формировании поверхности.
Площадь боковой поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле $S = \pi(R+r)l$, где $R$ и $r$ — радиусы оснований, а $l$ — длина образующей.

2. Вычислим площади отдельных частей поверхности.
Используем найденные ранее радиусы вращения вершин $r_A=0, r_B=1/2, r_C=0, r_D=1, r_E=3/2, r_F=1$. Длина каждой стороны (образующей) $l=1$.
- Вращение стороны $AB$: $S_{AB} = \pi(r_A+r_B)l = \pi(0+\frac{1}{2})\cdot 1 = \frac{\pi}{2}$.
- Вращение стороны $BC$: $S_{BC} = \pi(r_B+r_C)l = \pi(\frac{1}{2}+0)\cdot 1 = \frac{\pi}{2}$.
- Вращение стороны $CD$: $S_{CD} = \pi(r_C+r_D)l = \pi(0+1)\cdot 1 = \pi$.
- Вращение стороны $DE$: $S_{DE} = \pi(r_D+r_E)l = \pi(1+\frac{3}{2})\cdot 1 = \frac{5\pi}{2}$.
- Вращение стороны $EF$: $S_{EF} = \pi(r_E+r_F)l = \pi(\frac{3}{2}+1)\cdot 1 = \frac{5\pi}{2}$.
- Вращение стороны $FA$: $S_{FA} = \pi(r_F+r_A)l = \pi(1+0)\cdot 1 = \pi$.

3. Найдем общую площадь поверхности.
$S = S_{AB} + S_{BC} + S_{CD} + S_{DE} + S_{EF} + S_{FA} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} + \pi + \frac{5\pi}{2} + \frac{5\pi}{2} + \pi = \pi + 2\pi + \frac{10\pi}{2} = 3\pi + 5\pi = 8\pi$ см$^2$.

Ответ: площадь поверхности тела вращения равна $8\pi$ см$^2$.

23. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения правильного шестиугольника ABCDEF со стороной 1 см вокруг прямой AD.

24. Н

Задан правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной $a=1$ см. Ось вращения — большая диагональ $AD$.

Тело вращения, которое образуется при вращении шестиугольника вокруг оси $AD$, состоит из центрального цилиндра и двух одинаковых конусов, присоединенных к его основаниям. Эта фигура симметрична, поэтому для нахождения ее объема и площади поверхности достаточно рассмотреть вращение верхней половины шестиугольника — трапеции $ABCD$ — вокруг оси $AD$.

Для расчетов найдем ключевые параметры составных частей тела вращения:

1. Радиус ($r$) оснований цилиндра и конусов. Он равен расстоянию от вершин $B$ и $C$ до оси вращения $AD$. В правильном шестиугольнике со стороной $a$ это расстояние равно $r = a \cdot \sin(60^\circ)$. При $a=1$ см, получаем $r = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

2. Высота цилиндра ($h_{цил}$). Цилиндрическая часть образуется вращением стороны $BC$. Так как $BC$ параллельна оси $AD$, высота цилиндра равна длине стороны $BC$. $h_{цил} = a = 1$ см.

3. Образующая конусов ($l$). Конические части образуются вращением сторон $AB$ и $CD$. Длина образующей равна стороне шестиугольника: $l = a = 1$ см.

4. Высота конусов ($h_{кон}$). Это проекция образующей $AB$ (или $CD$) на ось вращения $AD$. Она равна $h_{кон} = l \cdot \cos(60^\circ) = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ см.

Объем тела вращения

Общий объем $V$ тела вращения складывается из объема цилиндра $V_{цил}$ и объемов двух конусов $2V_{кон}$.

Объем цилиндра вычисляется по формуле: $V_{цил} = \pi r^2 h_{цил}$.

Подставляем значения: $V_{цил} = \pi \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \cdot 1 = \pi \cdot \frac{3}{4} = \frac{3\pi}{4}$ см³.

Объем одного конуса вычисляется по формуле: $V_{кон} = \frac{1}{3} \pi r^2 h_{кон}$.

Подставляем значения: $V_{кон} = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{3} \pi \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\pi}{8}$ см³.

Суммарный объем тела вращения:

$V = V_{цил} + 2V_{кон} = \frac{3\pi}{4} + 2 \cdot \frac{\pi}{8} = \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi}{4} = \pi$ см³.

Ответ: $\pi$ см³.

Площадь поверхности тела вращения

Площадь поверхности $S$ тела вращения складывается из площади боковой поверхности цилиндра $S_{цил}$ и площадей боковых поверхностей двух конусов $2S_{кон}$ (основания цилиндра и конусов находятся внутри тела и в площадь поверхности не входят).

Площадь боковой поверхности цилиндра: $S_{цил} = 2 \pi r h_{цил}$.

Подставляем значения: $S_{цил} = 2 \pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \sqrt{3}\pi$ см².

Площадь боковой поверхности одного конуса: $S_{кон} = \pi r l$.

Подставляем значения: $S_{кон} = \pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \frac{\sqrt{3}\pi}{2}$ см².

Суммарная площадь поверхности тела вращения:

$S = S_{цил} + 2S_{кон} = \sqrt{3}\pi + 2 \cdot \frac{\sqrt{3}\pi}{2} = \sqrt{3}\pi + \sqrt{3}\pi = 2\sqrt{3}\pi$ см².

Ответ: $2\sqrt{3}\pi$ см².

24. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения правильного шестиугольника ABCDEF со стороной 1 см вокруг прямой c, проходящей через середины сторон AB и DE.

Пусть дан правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной $a = 1$ см. Ось вращения $c$ проходит через середины сторон $AB$ и $DE$. Обозначим центр шестиугольника как $O$. Правильный шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников со стороной $a=1$.

Ось вращения $c$ является осью симметрии шестиугольника. Расстояние от центра $O$ до любой вершины равно стороне шестиугольника, то есть $1$ см. Расстояние от центра до середины любой стороны (апофема) равно высоте равностороннего треугольника со стороной $1$: $h = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см. Ось вращения $c$ соединяет середины противоположных сторон, поэтому ее длина равна удвоенной апофеме, то есть $\sqrt{3}$ см.

Тело вращения, полученное при вращении шестиугольника вокруг оси $c$, состоит из двух одинаковых усеченных конусов, соединенных большими основаниями.

Нахождение объема

Объем всего тела вращения равен удвоенному объему одного усеченного конуса. Рассмотрим усеченный конус, который образуется при вращении трапеции $BCDO'$, где $O'$ - центр шестиугольника (точка на оси вращения), а $D$ и $C$ - вершины шестиугольника. Вращение происходит вокруг отрезка $O'N$, где $N$ - середина стороны $DE$.

Радиусы оснований этого усеченного конуса равны расстояниям от вершин $C$ и $D$ до оси вращения.

Больший радиус $R$ — это расстояние от вершины $C$ до оси $c$. Оно равно стороне шестиугольника, так как $C$ и $F$ - наиболее удаленные от оси вершины. $R = a = 1$ см.

Меньший радиус $r$ — это расстояние от вершины $D$ до оси $c$. Оно равно половине стороны $DE$, так как ось проходит через середину $DE$. $r = \frac{a}{2} = \frac{1}{2}$ см.

Высота усеченного конуса $h_{фр}$ — это половина длины оси вращения, то есть равна апофеме шестиугольника. $h_{фр} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Объем усеченного конуса вычисляется по формуле: $V_{фр} = \frac{1}{3} \pi h_{фр} (R^2 + Rr + r^2)$

Подставим наши значения: $V_{фр} = \frac{1}{3} \pi \frac{\sqrt{3}}{2} \left(1^2 + 1 \cdot \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^2\right) = \frac{\pi\sqrt{3}}{6} \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}\right) = \frac{\pi\sqrt{3}}{6} \left(\frac{4+2+1}{4}\right) = \frac{\pi\sqrt{3}}{6} \cdot \frac{7}{4} = \frac{7\pi\sqrt{3}}{24}$ см³.

Общий объем тела вращения $V$ равен удвоенному объему усеченного конуса: $V = 2 \cdot V_{фр} = 2 \cdot \frac{7\pi\sqrt{3}}{24} = \frac{7\pi\sqrt{3}}{12}$ см³.

Ответ: $V = \frac{7\pi\sqrt{3}}{12}$ см³.

Нахождение площади поверхности

Площадь поверхности тела вращения состоит из площадей поверхностей, образованных вращением каждой из шести сторон шестиугольника.

1. Вращение сторон $AB$ и $DE$. Ось вращения проходит через середины этих сторон. При вращении каждая из этих сторон образует плоский круг. Радиус этих кругов равен половине длины стороны: $r_{осн} = \frac{a}{2} = \frac{1}{2}$ см. Площадь одного такого круга (основания): $S_{осн} = \pi r_{осн}^2 = \pi \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{\pi}{4}$ см². Поскольку таких сторон две, их общая площадь: $S_1 = 2 \cdot S_{осн} = 2 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ см².

2. Вращение сторон $BC$, $CD$, $EF$ и $FA$. Каждая из этих четырех сторон при вращении образует боковую поверхность усеченного конуса. По симметрии все эти поверхности имеют одинаковую площадь.

Рассмотрим поверхность, образованную вращением стороны $BC$. Это боковая поверхность усеченного конуса с радиусами оснований $R=1$ см (расстояние от $C$ до оси) и $r=\frac{1}{2}$ см (расстояние от $B$ до оси). Образующая $L$ этого усеченного конуса равна длине стороны шестиугольника: $L=a=1$ см.

Площадь боковой поверхности усеченного конуса: $S_{бок.фр.} = \pi L (R + r)$

$S_{бок.фр.} = \pi \cdot 1 \cdot \left(1 + \frac{1}{2}\right) = \frac{3\pi}{2}$ см².

Так как таких сторон четыре ($BC$, $CD$, $EF$, $FA$), общая площадь боковой поверхности: $S_2 = 4 \cdot S_{бок.фр.} = 4 \cdot \frac{3\pi}{2} = 6\pi$ см².

3. Общая площадь поверхности. Полная площадь поверхности тела вращения $S$ равна сумме площадей оснований и боковой поверхности: $S = S_1 + S_2 = \frac{\pi}{2} + 6\pi = \frac{\pi + 12\pi}{2} = \frac{13\pi}{2}$ см².

Ответ: $S = \frac{13\pi}{2}$ см².

1. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ вокруг прямой $AA_1$.

Пусть дан единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ со стороной $a=1$. Осью вращения является прямая $AA_1$, проходящая через ребро куба.

Для удобства введем систему координат. Поместим вершину $A$ в начало координат $(0,0,0)$, а ребро $AA_1$ расположим вдоль оси $Oz$. Тогда вершины куба будут иметь следующие координаты:

• $A = (0,0,0)$
• $B = (1,0,0)$
• $D = (0,1,0)$
• $C = (1,1,0)$
• $A_1 = (0,0,1)$
• $B_1 = (1,0,1)$
• $D_1 = (0,1,1)$
• $C_1 = (1,1,1)$

Ось вращения — это ось $Oz$.

Объем

Тело вращения образуется путем вращения всего объема куба вокруг оси $AA_1$. Чтобы найти объем этого тела, достаточно определить его форму. При вращении куба каждая его точка описывает окружность в плоскости, перпендикулярной оси вращения.

Рассмотрим поперечное сечение куба плоскостью $z=const$, где $0 \le z \le 1$. Это сечение представляет собой квадрат со стороной 1, вершины которого в плоскости $xy$ имеют координаты $(0,0), (1,0), (1,1), (0,1)$. При вращении этого квадрата вокруг начала координат (точки пересечения оси $AA_1$ с плоскостью сечения) заметается вся область внутри окружности, радиус которой равен максимальному расстоянию от точки квадрата до центра вращения.

Самая удаленная от оси вращения $AA_1$ точка куба — это любая точка на ребре $CC_1$. Расстояние от любой точки ребра $CC_1$ до оси $AA_1$ постоянно и равно длине диагонали основания $AC$.

Радиус вращения $R$ равен расстоянию от точки $C(1,1,0)$ до оси $Oz$ (прямой $AA_1$):

$R = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

Таким образом, тело вращения представляет собой прямой круговой цилиндр, высота которого равна длине ребра $AA_1$, а радиус основания равен $R=\sqrt{2}$.

Высота цилиндра $h = AA_1 = 1$.

Объем цилиндра вычисляется по формуле:

$V = \pi R^2 h$

Подставляем наши значения:

$V = \pi (\sqrt{2})^2 \cdot 1 = 2\pi$

Ответ: $V = 2\pi$

Площадь поверхности

Площадь поверхности тела вращения состоит из площадей двух оснований (верхнего и нижнего) и площади боковой поверхности.

1. Площадь оснований.

Нижнее основание тела вращения образуется вращением грани $ABCD$ вокруг вершины $A$. Как мы установили, это круг радиусом $R = AC = \sqrt{2}$.

Площадь нижнего основания: $S_{нижн} = \pi R^2 = \pi (\sqrt{2})^2 = 2\pi$.

Верхнее основание образуется вращением грани $A_1B_1C_1D_1$ вокруг вершины $A_1$. Это также круг радиусом $R = A_1C_1 = \sqrt{2}$.

Площадь верхнего основания: $S_{верх} = \pi R^2 = \pi (\sqrt{2})^2 = 2\pi$.

2. Площадь боковой поверхности.

Боковая поверхность тела вращения образуется вращением тех граней куба, которые не лежат в плоскостях оснований. Это боковые грани куба: $ABB_1A_1$, $ADD_1A_1$, $BCC_1B_1$, $CDD_1C_1$.

Грани $ABB_1A_1$ и $ADD_1A_1$ содержат ось вращения. При вращении они "заметают" объем, но не формируют внешнюю поверхность тела вращения.

Внешняя боковая поверхность образуется вращением самых дальних от оси граней: $BCC_1B_1$ и $CDD_1C_1$.

Площадь поверхности, образуемой вращением плоской фигуры, можно найти по формуле, являющейся обобщением теоремы Паппа-Гульдина: $S_{бок} = \int_{F} 2\pi r \,dA$, где $F$ — вращаемая поверхность, $dA$ — элемент ее площади, а $r$ — расстояние от элемента $dA$ до оси вращения.

Найдем площадь поверхности, образуемой вращением грани $BCC_1B_1$. Эта грань является квадратом в плоскости $x=1$. Точка на этой грани имеет координаты $(1, y, z)$, где $0 \le y \le 1$ и $0 \le z \le 1$. Расстояние от этой точки до оси вращения $Oz$ равно $r = \sqrt{1^2 + y^2} = \sqrt{1+y^2}$. Элемент площади $dA = dy\,dz$.

$S_{BCC_1B_1} = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} 2\pi \sqrt{1+y^2} \,dy\,dz = 2\pi \int_{0}^{1} dz \int_{0}^{1} \sqrt{1+y^2} \,dy$

Интеграл по $z$ равен 1. Вычислим интеграл по $y$:

$\int \sqrt{1+y^2} \,dy = \frac{y}{2}\sqrt{1+y^2} + \frac{1}{2}\ln(y+\sqrt{1+y^2})$

$\int_{0}^{1} \sqrt{1+y^2} \,dy = \left[ \frac{y}{2}\sqrt{1+y^2} + \frac{1}{2}\ln(y+\sqrt{1+y^2}) \right]_{0}^{1} = \left( \frac{1}{2}\sqrt{2} + \frac{1}{2}\ln(1+\sqrt{2}) \right) - (0 + \frac{1}{2}\ln(1)) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2}\ln(1+\sqrt{2})$

Тогда $S_{BCC_1B_1} = 2\pi \left( \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2}\ln(1+\sqrt{2}) \right) = \pi\sqrt{2} + \pi\ln(1+\sqrt{2})$.

Для грани $CDD_1C_1$ (квадрат в плоскости $y=1$) расчеты аналогичны. Точка на грани $(x, 1, z)$, расстояние до оси $r = \sqrt{x^2+1}$. Интеграл будет таким же.

$S_{CDD_1C_1} = \pi\sqrt{2} + \pi\ln(1+\sqrt{2})$.

Поверхности, образованные вращением этих двух граней, пересекаются только по линии, образованной вращением ребра $CC_1$, поэтому площадь их объединения равна сумме их площадей.

$S_{бок} = S_{BCC_1B_1} + S_{CDD_1C_1} = 2(\pi\sqrt{2} + \pi\ln(1+\sqrt{2})) = 2\pi\sqrt{2} + 2\pi\ln(1+\sqrt{2})$.

Полная площадь поверхности $S_{полн}$ равна сумме площадей оснований и боковой поверхности:

$S_{полн} = S_{нижн} + S_{верх} + S_{бок} = 2\pi + 2\pi + 2\pi\sqrt{2} + 2\pi\ln(1+\sqrt{2}) = 4\pi + 2\pi\sqrt{2} + 2\pi\ln(1+\sqrt{2})$

$S_{полн} = 2\pi(2 + \sqrt{2} + \ln(1+\sqrt{2}))$

Ответ: $S_{полн} = 2\pi(2 + \sqrt{2} + \ln(1+\sqrt{2}))$

2. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ вокруг прямой $c$, проходящей через центры граней $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$.

Для решения задачи сперва определим форму и размеры тела, полученного в результате вращения единичного куба. Единичный куб имеет длину ребра $a = 1$. Ось вращения $c$ проходит через центры противоположных граней $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$. Эта ось перпендикулярна данным граням.

При вращении куба вокруг этой оси каждая точка куба описывает окружность в плоскости, перпендикулярной оси вращения. Тело вращения будет ограничено поверхностью, которую описывают наиболее удаленные от оси вращения точки куба.

Рассмотрим любое поперечное сечение куба плоскостью, перпендикулярной оси вращения. Такое сечение представляет собой квадрат со стороной $a=1$. Ось вращения проходит через центр этого квадрата. При вращении этого квадрата вокруг его центра получается сплошной круг. Радиус этого круга $R$ равен расстоянию от центра квадрата до его наиболее удаленной точки, то есть до вершины.

Найдем этот радиус. Расстояние от центра квадрата до его вершины можно вычислить по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, катетами которого являются половины сторон квадрата ($a/2 = 1/2$). $R = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Так как форма и размер поперечного сечения тела вращения (круга радиуса $R$) одинаковы на любой высоте от $0$ до $1$, искомое тело вращения является прямым круговым цилиндром. Высота этого цилиндра $h$ равна длине ребра куба, то есть $h=1$.

Итак, мы имеем цилиндр с высотой $h=1$ и радиусом основания $R = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Теперь мы можем найти его объем и площадь поверхности.

Объем

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi R^2 h$. Подставим известные значения $R$ и $h$: $V = \pi \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 \cdot 1 = \pi \cdot \frac{2}{4} \cdot 1 = \pi \cdot \frac{1}{2} = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $V = \frac{\pi}{2}$.

Площадь поверхности

Площадь полной поверхности цилиндра $S$ состоит из площади двух оснований ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$). Формула для полной площади поверхности: $S = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок}$.

Площадь одного основания (круга) равна $S_{осн} = \pi R^2$. $S_{осн} = \pi \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \pi \cdot \frac{2}{4} = \frac{\pi}{2}$.

Площадь боковой поверхности цилиндра равна $S_{бок} = 2 \pi R h$. $S_{бок} = 2 \pi \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 = \pi\sqrt{2}$.

Теперь найдем полную площадь поверхности, сложив площади двух оснований и боковой поверхности: $S = 2 \cdot \frac{\pi}{2} + \pi\sqrt{2} = \pi + \pi\sqrt{2} = \pi(1 + \sqrt{2})$.

Ответ: $S = \pi(1 + \sqrt{2})$.

границ ПВОВ и $A_1B_1C_1$.

3. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1 см, вокруг прямой $AA_1$.

Дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$, у которой все ребра равны 1 см. Это означает, что основания $ABC$ и $A_1B_1C_1$ являются равносторонними треугольниками со стороной $a=1$ см, а боковые ребра $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ перпендикулярны основаниям и их длина (высота призмы) также равна $H=1$ см.

Тело вращения образуется при вращении этой призмы вокруг прямой $AA_1$, содержащей боковое ребро.

Объем

Для нахождения объема тела вращения воспользуемся методом параллельных сечений. Объем $V$ можно вычислить по формуле $V = \int_{0}^{H} S(z) dz$, где $H$ - высота тела, а $S(z)$ - площадь поперечного сечения на высоте $z$.

В нашем случае ось вращения - это прямая $AA_1$, поэтому высота тела вращения равна высоте призмы, $H = AA_1 = 1$ см.

Рассмотрим поперечное сечение тела вращения плоскостью, перпендикулярной оси $AA_1$ на произвольной высоте $z$ ($0 \le z \le 1$). Это сечение представляет собой фигуру, образованную вращением сечения призмы на той же высоте вокруг точки пересечения с осью $AA_1$. Сечением призмы является равносторонний треугольник со стороной 1 см, вращающийся вокруг одной из своих вершин.

Максимальное расстояние от центра вращения (вершины треугольника) до любой точки треугольника равно длине его стороны, то есть 1 см. Любая точка, находящаяся на расстоянии $r \le 1$ от центра вращения, будет покрыта треугольником при некотором угле поворота. Следовательно, фигура, образуемая вращением треугольника, — это круг радиусом $R=1$ см.

Площадь этого круга (поперечного сечения) постоянна для любой высоты $z$ и равна: $S = \pi R^2 = \pi \cdot 1^2 = \pi$ см$^2$.

Теперь можем вычислить объем тела вращения: $V = S \cdot H = \pi \cdot 1 = \pi$ см$^3$.

Ответ: $\pi$ см$^3$.

Площадь поверхности

Площадь полной поверхности тела вращения $S_{полн}$ складывается из площадей двух оснований (верхнего и нижнего) и площади боковой поверхности.

1. Площадь оснований. Нижнее основание тела вращения образуется при вращении треугольника $ABC$ вокруг вершины $A$. Как мы уже выяснили, это круг радиусом $R=1$ см. Его площадь $S_{нижн} = \pi R^2 = \pi$ см$^2$. Аналогично, верхнее основание образуется вращением треугольника $A_1B_1C_1$ вокруг вершины $A_1$ и представляет собой такой же круг. Его площадь $S_{верхн} = \pi$ см$^2$.

2. Площадь боковой поверхности. Боковая поверхность тела вращения образуется вращением тех частей боковой поверхности призмы, которые наиболее удалены от оси вращения $AA_1$. На любой высоте $z$ наиболее удаленными от оси точками призмы являются точки на ребрах $BB_1$ и $CC_1$. Эти ребра находятся на постоянном расстоянии $R=1$ см от оси вращения. При вращении они описывают боковую поверхность прямого кругового цилиндра.

Радиус этого цилиндра $R=1$ см, а высота $H=1$ см. Площадь его боковой поверхности равна: $S_{бок} = 2\pi R H = 2\pi \cdot 1 \cdot 1 = 2\pi$ см$^2$.

3. Полная площадь поверхности. Суммируем площади оснований и боковой поверхности: $S_{полн} = S_{нижн} + S_{верхн} + S_{бок} = \pi + \pi + 2\pi = 4\pi$ см$^2$.

Ответ: $4\pi$ см$^2$.

4.

Дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$, у которой все ребра равны 1 см. Это означает, что в основании лежит равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a=1$ см, а высота призмы (длина бокового ребра) также равна $h=1$ см.

Ось вращения $c$ проходит через центры оснований $O$ и $O_1$. В правильной треугольной призме эта ось параллельна боковым ребрам ($AA_1$, $BB_1$, $CC_1$) и перпендикулярна основаниям.

При вращении призмы вокруг этой оси образуется тело вращения. Поскольку боковые ребра призмы параллельны оси вращения, тело вращения будет представлять собой прямой круговой цилиндр.

Высота этого цилиндра будет равна высоте призмы, то есть $H_{цил} = h = 1$ см.

Радиус этого цилиндра $R_{цил}$ будет равен расстоянию от оси вращения до любого из боковых ребер. Это расстояние равно радиусу окружности, описанной около треугольника основания $ABC$.

Найдем радиус $R$ описанной окружности для равностороннего треугольника со стороной $a=1$ см. Формула для радиуса описанной окружности равностороннего треугольника: $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

Подставляя $a=1$ см, получаем:$R_{цил} = R = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ см.

Теперь мы имеем все параметры для нахождения объема и площади поверхности полученного цилиндра.

Объем

Объем тела вращения (цилиндра) вычисляется по формуле:$V = \pi R^2 H$

Подставим наши значения $R = \frac{\sqrt{3}}{3}$ см и $H = 1$ см:$V = \pi \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 \cdot 1 = \pi \cdot \frac{3}{9} \cdot 1 = \frac{3\pi}{9} = \frac{\pi}{3}$ см$^3$.

Ответ: $V = \frac{\pi}{3}$ см$^3$.

Площадь поверхности

Площадь полной поверхности тела вращения (цилиндра) складывается из площади боковой поверхности и площадей двух оснований:$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле:$S_{бок} = 2\pi R H$$S_{бок} = 2\pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1 = \frac{2\pi\sqrt{3}}{3}$ см$^2$.

Площадь одного основания (круга) вычисляется по формуле:$S_{осн} = \pi R^2$$S_{осн} = \pi \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 = \pi \cdot \frac{3}{9} = \frac{\pi}{3}$ см$^2$.

Теперь найдем площадь полной поверхности:$S_{полн} = \frac{2\pi\sqrt{3}}{3} + 2 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi\sqrt{3} + 2\pi}{3} = \frac{2\pi(\sqrt{3}+1)}{3}$ см$^2$.

Ответ: $S = \frac{2\pi(\sqrt{3}+1)}{3}$ см$^2$.

5. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1 см, вокруг прямой $c$, проходящей через центры ее оснований.

Объем тела вращения

Дана правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, у которой все ребра равны 1 см. Это означает, что сторона основания $a = 1$ см, и высота призмы $h = 1$ см.

Вращение производится вокруг прямой $c$, проходящей через центры оснований призмы. Эта прямая является осью симметрии призмы.

Тело вращения, полученное при вращении призмы вокруг ее центральной оси, представляет собой прямой круговой цилиндр. Радиус этого цилиндра равен максимальному расстоянию от точек призмы до оси вращения, а его высота равна высоте призмы.

Максимальное расстояние от оси вращения до точек призмы — это расстояние от центра правильного шестиугольника (основания) до его вершин. Для правильного шестиугольника со стороной $a$ радиус описанной окружности $R$ равен стороне шестиугольника.

Таким образом, радиус цилиндра $R$ равен стороне основания призмы: $R = a = 1$ см.

Высота цилиндра $H$ равна высоте призмы: $H = h = 1$ см.

Объем цилиндра вычисляется по формуле: $V = \pi R^2 H$

Подставляем наши значения: $V = \pi \cdot (1)^2 \cdot 1 = \pi$ см$^3$.

Ответ: Объем тела вращения равен $\pi$ см$^3$.

Площадь поверхности тела вращения

Тело вращения, как мы установили, является цилиндром с радиусом основания $R = 1$ см и высотой $H = 1$ см.

Площадь полной поверхности цилиндра $S$ складывается из площади двух круговых оснований ($S_{2осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$).

Площадь двух оснований вычисляется по формуле $2 \pi R^2$: $S_{2осн} = 2 \cdot \pi \cdot (1)^2 = 2\pi$ см$^2$.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $2 \pi R H$: $S_{бок} = 2 \cdot \pi \cdot 1 \cdot 1 = 2\pi$ см$^2$.

Площадь полной поверхности тела вращения равна сумме площадей двух оснований и боковой поверхности: $S = S_{2осн} + S_{бок} = 2\pi + 2\pi = 4\pi$ см$^2$.

Ответ: Площадь поверхности тела вращения равна $4\pi$ см$^2$.