Номер 22, страница 110 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

шестиугольника ABCDEF со стороной 1 см вокруг прямой AD.

22. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения правильного шестиугольника ABCDEF со стороной 1 см вокруг прямой AC.

Объем тела вращения

Рассмотрим правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной $a=1$ см. Ось вращения — прямая $AC$.

1. Определим геометрические параметры.
Длина стороны шестиугольника $a=1$. Все внутренние углы равны $120^\circ$.
Найдем длину диагонали $AC$ по теореме косинусов для треугольника $ABC$, где $AB=BC=1$ и $\angle ABC = 120^\circ$:
$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(120^\circ) = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = 1+1+1=3$.
Таким образом, $AC = \sqrt{3}$ см.

2. Разделим тело вращения на части.
Тело вращения можно представить как сумму объемов двух тел, образованных вращением вокруг прямой $AC$ многоугольников, на которые эта прямая делит шестиугольник: треугольника $ABC$ и пятиугольника $ACDEF$.
$V = V_{rot(ABC)} + V_{rot(ACDEF)}$.

3. Найдем объем тела, образованного вращением $\triangle ABC$.
При вращении $\triangle ABC$ вокруг стороны $AC$ образуется тело, состоящее из двух конусов с общим основанием. Радиус этого основания $r_B$ равен высоте треугольника $ABC$, опущенной из вершины $B$ на сторону $AC$.
Площадь $\triangle ABC$: $S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot BC \cdot \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.
С другой стороны, $S_{ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot r_B$. Отсюда $r_B = \frac{2 S_{ABC}}{AC} = \frac{2 \cdot (\sqrt{3}/4)}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$ см.
Объем этого тела вращения (двойного конуса) равен: $V_{rot(ABC)} = \frac{1}{3} \pi r_B^2 \cdot AC = \frac{1}{3} \pi (\frac{1}{2})^2 \sqrt{3} = \frac{\pi\sqrt{3}}{12}$ см$^3$.

4. Найдем объем тела, образованного вращением пятиугольника $ACDEF$.
Это тело можно разложить на более простые. Определим расстояния от вершин $D, E, F$ до оси вращения $AC$.
- Угол $\angle FAB = 120^\circ$. В $\triangle ABC$, $\angle CAB = \angle BCA = 30^\circ$. Тогда $\angle FAC = \angle FAB - \angle CAB = 120^\circ - 30^\circ = 90^\circ$. Это значит, что $AF \perp AC$. Расстояние от точки $F$ до прямой $AC$ равно длине отрезка $AF$, то есть $r_F = 1$. Проекция точки $F$ на прямую $AC$ — это точка $A$.
- Аналогично, $\angle BCD = 120^\circ$. Тогда $\angle ACD = \angle BCD - \angle BCA = 120^\circ - 30^\circ = 90^\circ$. Это значит, что $CD \perp AC$. Расстояние от точки $D$ до прямой $AC$ равно $r_D = CD = 1$. Проекция точки $D$ на прямую $AC$ — это точка $C$.
- Диагонали $AE$ и $AC$ равны, $AE=AC=\sqrt{3}$. Сторона $CE=1$. Треугольник $AEC$ — равнобедренный. Можно показать, что он равносторонний со стороной $\sqrt{3}$. Расстояние от точки $E$ до прямой $AC$ — это высота $r_E$ равностороннего треугольника $AEC$, опущенная на сторону $AC$. $r_E = \frac{(\sqrt{3}) \sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2}$. Проекция точки $E$ на прямую $AC$ — это середина отрезка $AC$.
Тело вращения $V_{rot(ACDEF)}$ состоит из двух усеченных конусов, полученных вращением отрезков $FE$ и $ED$.
- Вращение отрезка $FE$: образует усеченный конус с высотой $h_1 = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, радиусами оснований $R_1=r_E=\frac{3}{2}$ и $r_1=r_F=1$. $V_1 = \frac{1}{3}\pi h_1 (R_1^2 + R_1 r_1 + r_1^2) = \frac{1}{3}\pi \frac{\sqrt{3}}{2} ((\frac{3}{2})^2 + \frac{3}{2}\cdot 1 + 1^2) = \frac{\pi\sqrt{3}}{6} (\frac{9}{4} + \frac{3}{2} + 1) = \frac{\pi\sqrt{3}}{6} (\frac{9+6+4}{4}) = \frac{19\pi\sqrt{3}}{24}$.
- Вращение отрезка $ED$: образует усеченный конус с высотой $h_2 = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, радиусами оснований $R_2=r_E=\frac{3}{2}$ и $r_2=r_D=1$. $V_2 = V_1 = \frac{19\pi\sqrt{3}}{24}$.
$V_{rot(ACDEF)} = V_1 + V_2 = 2 \cdot \frac{19\pi\sqrt{3}}{24} = \frac{19\pi\sqrt{3}}{12}$ см$^3$.

5. Найдем общий объем.
$V = V_{rot(ABC)} + V_{rot(ACDEF)} = \frac{\pi\sqrt{3}}{12} + \frac{19\pi\sqrt{3}}{12} = \frac{20\pi\sqrt{3}}{12} = \frac{5\pi\sqrt{3}}{3}$ см$^3$.

Ответ: объем тела вращения равен $\frac{5\pi\sqrt{3}}{3}$ см$^3$.

Площадь поверхности тела вращения

1. Определим образующие поверхности.
Площадь поверхности тела вращения состоит из площадей боковых поверхностей тел, образованных вращением сторон шестиугольника (кроме тех, что лежат на оси вращения). Ось вращения проходит через прямую $AC$, поэтому стороны $AB, BC, CD, DE, EF, FA$ участвуют в формировании поверхности.
Площадь боковой поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле $S = \pi(R+r)l$, где $R$ и $r$ — радиусы оснований, а $l$ — длина образующей.

2. Вычислим площади отдельных частей поверхности.
Используем найденные ранее радиусы вращения вершин $r_A=0, r_B=1/2, r_C=0, r_D=1, r_E=3/2, r_F=1$. Длина каждой стороны (образующей) $l=1$.
- Вращение стороны $AB$: $S_{AB} = \pi(r_A+r_B)l = \pi(0+\frac{1}{2})\cdot 1 = \frac{\pi}{2}$.
- Вращение стороны $BC$: $S_{BC} = \pi(r_B+r_C)l = \pi(\frac{1}{2}+0)\cdot 1 = \frac{\pi}{2}$.
- Вращение стороны $CD$: $S_{CD} = \pi(r_C+r_D)l = \pi(0+1)\cdot 1 = \pi$.
- Вращение стороны $DE$: $S_{DE} = \pi(r_D+r_E)l = \pi(1+\frac{3}{2})\cdot 1 = \frac{5\pi}{2}$.
- Вращение стороны $EF$: $S_{EF} = \pi(r_E+r_F)l = \pi(\frac{3}{2}+1)\cdot 1 = \frac{5\pi}{2}$.
- Вращение стороны $FA$: $S_{FA} = \pi(r_F+r_A)l = \pi(1+0)\cdot 1 = \pi$.

3. Найдем общую площадь поверхности.
$S = S_{AB} + S_{BC} + S_{CD} + S_{DE} + S_{EF} + S_{FA} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} + \pi + \frac{5\pi}{2} + \frac{5\pi}{2} + \pi = \pi + 2\pi + \frac{10\pi}{2} = 3\pi + 5\pi = 8\pi$ см$^2$.

Ответ: площадь поверхности тела вращения равна $8\pi$ см$^2$.