Номер 2, страница 110 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

2. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ вокруг прямой $c$, проходящей через центры граней $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$.

Для решения задачи сперва определим форму и размеры тела, полученного в результате вращения единичного куба. Единичный куб имеет длину ребра $a = 1$. Ось вращения $c$ проходит через центры противоположных граней $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$. Эта ось перпендикулярна данным граням.

При вращении куба вокруг этой оси каждая точка куба описывает окружность в плоскости, перпендикулярной оси вращения. Тело вращения будет ограничено поверхностью, которую описывают наиболее удаленные от оси вращения точки куба.

Рассмотрим любое поперечное сечение куба плоскостью, перпендикулярной оси вращения. Такое сечение представляет собой квадрат со стороной $a=1$. Ось вращения проходит через центр этого квадрата. При вращении этого квадрата вокруг его центра получается сплошной круг. Радиус этого круга $R$ равен расстоянию от центра квадрата до его наиболее удаленной точки, то есть до вершины.

Найдем этот радиус. Расстояние от центра квадрата до его вершины можно вычислить по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, катетами которого являются половины сторон квадрата ($a/2 = 1/2$). $R = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Так как форма и размер поперечного сечения тела вращения (круга радиуса $R$) одинаковы на любой высоте от $0$ до $1$, искомое тело вращения является прямым круговым цилиндром. Высота этого цилиндра $h$ равна длине ребра куба, то есть $h=1$.

Итак, мы имеем цилиндр с высотой $h=1$ и радиусом основания $R = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Теперь мы можем найти его объем и площадь поверхности.

Объем

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi R^2 h$. Подставим известные значения $R$ и $h$: $V = \pi \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 \cdot 1 = \pi \cdot \frac{2}{4} \cdot 1 = \pi \cdot \frac{1}{2} = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $V = \frac{\pi}{2}$.

Площадь поверхности

Площадь полной поверхности цилиндра $S$ состоит из площади двух оснований ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$). Формула для полной площади поверхности: $S = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок}$.

Площадь одного основания (круга) равна $S_{осн} = \pi R^2$. $S_{осн} = \pi \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \pi \cdot \frac{2}{4} = \frac{\pi}{2}$.

Площадь боковой поверхности цилиндра равна $S_{бок} = 2 \pi R h$. $S_{бок} = 2 \pi \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 = \pi\sqrt{2}$.

Теперь найдем полную площадь поверхности, сложив площади двух оснований и боковой поверхности: $S = 2 \cdot \frac{\pi}{2} + \pi\sqrt{2} = \pi + \pi\sqrt{2} = \pi(1 + \sqrt{2})$.

Ответ: $S = \pi(1 + \sqrt{2})$.