Номер 9, страница 111 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

9. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, стороны основания которой равны 1 см, а боковые ребра равны 2 см, вокруг прямой, содержащей высоту SH этой пирамиды.

Объем тела вращения

При вращении правильной шестиугольной пирамиды $SABCDEF$ вокруг своей высоты $SH$ образуется конус. Вершина конуса совпадает с вершиной пирамиды $S$, а основанием конуса является круг, описанный около основания пирамиды.

Радиус основания конуса $R$ равен радиусу окружности, описанной около правильного шестиугольника $ABCDEF$. В правильном шестиугольнике радиус описанной окружности равен длине его стороны. По условию, сторона основания $a = 1$ см, следовательно, $R = a = 1$ см.

Образующая конуса $L$ равна боковому ребру пирамиды. По условию, боковое ребро $SA = 2$ см, следовательно, $L = 2$ см.

Высота конуса $h$ совпадает с высотой пирамиды $SH$. Мы можем найти ее, рассмотрев прямоугольный треугольник $SHA$, где $SA$ — гипотенуза ($L$), $HA$ — катет ($R$), и $SH$ — катет ($h$). По теореме Пифагора:

$h^2 + R^2 = L^2$

$h = \sqrt{L^2 - R^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3}$ см.

Объем конуса вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3}\pi R^2 h$

Подставим найденные значения:

$V = \frac{1}{3}\pi \cdot 1^2 \cdot \sqrt{3} = \frac{\pi\sqrt{3}}{3}$ см$^3$.

Ответ: объем тела вращения равен $\frac{\pi\sqrt{3}}{3}$ см$^3$.

Площадь поверхности тела вращения

Площадь полной поверхности конуса $S_{полн}$ складывается из площади его основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$.

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$

Площадь основания (круга) вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \pi R^2$

Подставляя значение радиуса $R=1$ см, получаем:

$S_{осн} = \pi \cdot 1^2 = \pi$ см$^2$.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \pi R L$

Подставляя значения радиуса $R=1$ см и образующей $L=2$ см, получаем:

$S_{бок} = \pi \cdot 1 \cdot 2 = 2\pi$ см$^2$.

Теперь найдем площадь полной поверхности тела вращения:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \pi + 2\pi = 3\pi$ см$^2$.

Ответ: площадь поверхности тела вращения равна $3\pi$ см$^2$.