Номер 11, страница 111 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

11. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения единичного тетраэдра $ABCD$ вокруг прямой $AB$.

По условию, тетраэдр $ABCD$ является единичным, а значит, правильным. Все его ребра равны 1 ($a=1$), а все грани – равносторонние треугольники со стороной 1.

Тело вращения образуется при вращении тетраэдра вокруг прямой, содержащей ребро $AB$. Вершины $A$ и $B$ лежат на оси вращения, поэтому они остаются неподвижными. Вершины $C$ и $D$ вращаются вокруг прямой $AB$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Это равносторонний треугольник со стороной 1. При вращении вокруг стороны $AB$ вершина $C$ описывает окружность. Центр этой окружности лежит на прямой $AB$ и является серединой отрезка $AB$ (так как высота в равностороннем треугольнике является и медианой). Обозначим эту середину точкой $O$.

Аналогично, при вращении треугольника $ABD$ вокруг стороны $AB$ вершина $D$ описывает ту же самую окружность, что и вершина $C$, так как треугольник $ABD$ также является равносторонним и конгруэнтен треугольнику $ABC$.

Таким образом, тело вращения представляет собой два одинаковых конуса, соединенных основаниями. Вершина первого конуса – точка $A$, вершина второго – точка $B$. Общее основание – это окружность, которую описывают точки $C$ и $D$ при вращении.

Найдем параметры этих конусов:

• Образующая конуса ($l$) равна длине ребер $AC$ и $BC$. Таким образом, $l = a = 1$.

• Высота каждого конуса ($h$) равна половине длины ребра $AB$. Таким образом, $h = \frac{a}{2} = \frac{1}{2}$.

• Радиус основания конуса ($r$) равен расстоянию от вершины $C$ (или $D$) до оси вращения $AB$. Это расстояние равно высоте равностороннего треугольника $ABC$ (или $ABD$), проведенной из вершины $C$ (или $D$). Высота равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $h_{\triangle} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Следовательно, $r = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Объем

Объем тела вращения равен сумме объемов двух одинаковых конусов.

Объем одного конуса вычисляется по формуле $V_{конуса} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$.

Общий объем $V$ равен:

$V = 2 \cdot V_{конуса} = 2 \cdot \frac{1}{3}\pi r^2 h = 2 \cdot \frac{1}{3}\pi \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \cdot \frac{1}{2} = 2 \cdot \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{6\pi}{24} = \frac{\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{\pi}{4}$

Площадь поверхности

Площадь поверхности тела вращения равна сумме площадей боковых поверхностей двух конусов (основания конусов находятся внутри тела и в площадь поверхности не входят).

Площадь боковой поверхности одного конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi r l$.

Общая площадь поверхности $S$ равна:

$S = 2 \cdot S_{бок} = 2 \cdot \pi r l = 2 \cdot \pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \pi\sqrt{3}$.

Ответ: $\pi\sqrt{3}$