Номер 13, страница 111 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

13. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1 см, вокруг прямой $c$, проходящей через середины ребер $BC$ и $B_1C_1$.

Дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$, у которой все ребра равны 1 см. Ось вращения $c$ проходит через середины ребер $BC$ и $B_1C_1$. Обозначим эти середины как $M$ и $M_1$ соответственно.

Поскольку призма правильная, ее основания $ABC$ и $A_1B_1C_1$ являются равносторонними треугольниками со стороной $a=1$ см, а боковые ребра перпендикулярны основаниям и равны $h=1$ см. Ось вращения $MM_1$ параллельна боковым ребрам и перпендикулярна основаниям.

Тело вращения можно представить как результат движения поперечного сечения призмы (равностороннего треугольника) вдоль оси вращения на высоту призмы. Рассмотрим поперечное сечение на примере основания $ABC$. Ось вращения проходит через точку $M$ — середину стороны $BC$.

При вращении треугольника $ABC$ вокруг точки $M$ в плоскости основания, каждая точка треугольника описывает окружность с центром в $M$. Чтобы определить форму и размер фигуры, которую заметает треугольник, найдем максимальное расстояние от точки $M$ до точек треугольника.

Точка $A$ находится на наибольшем удалении от точки $M$. Расстояние $AM$ является высотой равностороннего треугольника $ABC$. Высота равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $h_{\triangle} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. В нашем случае $a=1$ см, поэтому радиус вращения $R = AM = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Минимальное расстояние от оси вращения до точки в треугольнике равно нулю, так как сама точка $M$ (и вся ось $MM_1$) принадлежит призме (лежит на грани $BCC_1B_1$).

Поскольку треугольник является связной фигурой, при его вращении вокруг точки $M$ он полностью заметает круг (диск) с радиусом, равным максимальному расстоянию, то есть $R = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Так как это поперечное сечение одинаково на любой высоте призмы, тело вращения представляет собой прямой круговой цилиндр с высотой $h=1$ см и радиусом основания $R = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi R^2 h$.

Подставляем наши значения:

$R = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см

$h = 1$ см

$V = \pi \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \cdot 1 = \pi \cdot \frac{3}{4} \cdot 1 = \frac{3\pi}{4}$ см$^3$.

Ответ: $\frac{3\pi}{4}$ см$^3$.

Площадь полной поверхности цилиндра состоит из площади двух оснований (кругов) и площади боковой поверхности.

Площадь одного основания: $S_{осн} = \pi R^2 = \pi \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3\pi}{4}$ см$^2$.

Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = 2\pi R h = 2\pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \pi\sqrt{3}$ см$^2$.

Площадь полной поверхности тела вращения:

$S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot \frac{3\pi}{4} + \pi\sqrt{3} = \frac{3\pi}{2} + \pi\sqrt{3} = \pi\left(\frac{3}{2} + \sqrt{3}\right)$ см$^2$.

Ответ: $\pi\left(\frac{3}{2} + \sqrt{3}\right)$ см$^2$.