Номер 12, страница 111 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

12. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения единичного октаэдра $S'ABCD S''$ вокруг прямой $S'S''$.

13. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения

Единичный октаэдр — это правильный многогранник, все 12 ребер которого имеют длину $a=1$. Для определения его геометрических параметров поместим центр октаэдра в начало координат $(0,0,0)$. Тогда его 6 вершин можно расположить в точках $(\pm k, 0, 0)$, $(0, \pm k, 0)$, $(0, 0, \pm k)$. Длина ребра $a$ такого октаэдра равна расстоянию между двумя любыми соседними вершинами, например, между $(k,0,0)$ и $(0,k,0)$:

$a = \sqrt{(k-0)^2 + (0-k)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{k^2+k^2} = k\sqrt{2}$

Поскольку октаэдр единичный, $a=1$, следовательно, $k\sqrt{2}=1$, откуда $k = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ось вращения S'S'' проходит через две противоположные вершины. Расположим эти вершины на оси Oz: S'$(0, 0, k)$ и S''$(0, 0, -k)$. Таким образом, осью вращения является ось Oz. Тело, полученное при вращении октаэдра вокруг оси S'S'', представляет собой два одинаковых конуса, соединенных общим основанием. Найдем параметры этих конусов. Радиус основания $R$ равен расстоянию от любой из четырех вершин в экваториальной плоскости (например, A$(k,0,0)$) до оси вращения, то есть $R = k = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Высота $h$ каждого конуса равна расстоянию от его вершины (например, S') до плоскости основания, то есть $h = k = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Образующая $l$ конуса равна длине ребра октаэдра, то есть $l = a = 1$.

Объем тела вращения

Объем $V$ тела вращения равен сумме объемов двух конусов. Объем одного конуса вычисляется по формуле $V_{конуса} = \frac{1}{3}\pi R^2 h$, следовательно, полный объем тела равен $V = 2 \cdot \frac{1}{3}\pi R^2 h$. Подставив найденные значения $R = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $h = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$V = \frac{2}{3}\pi \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{2}{3}\pi \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2}{3}\pi \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi\sqrt{2}}{6}$

Ответ: $V = \frac{\pi\sqrt{2}}{6}$.

Площадь поверхности тела вращения

Площадь поверхности $S$ тела вращения равна сумме площадей боковых поверхностей двух конусов. Площадь боковой поверхности одного конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi R l$, следовательно, полная площадь поверхности равна $S = 2 \pi R l$. Подставив найденные значения $R = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $l=1$, получаем:

$S = 2 \pi \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 = \pi\sqrt{2}$

Ответ: $S = \pi\sqrt{2}$.