Номер 6, страница 111 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

6. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ вокруг прямой $c$, проходящей через середины ребер $BC$ и $B_1C_1$.

Для решения задачи введем систему координат. Пусть вершина куба $A$ находится в начале координат $(0, 0, 0)$, а ребра $AB$, $AD$ и $AA_1$ лежат на осях $Ox$, $Oy$ и $Oz$ соответственно. Тогда ребро единичного куба равно 1, и координаты его вершин будут:

$A(0, 0, 0)$, $B(1, 0, 0)$, $C(1, 1, 0)$, $D(0, 1, 0)$,

$A_1(0, 0, 1)$, $B_1(1, 0, 1)$, $C_1(1, 1, 1)$, $D_1(0, 1, 1)$.

Ось вращения $c$ проходит через середины ребер $BC$ и $B_1C_1$.

Координаты середины ребра $BC$: $M = \left(\frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (1, 0.5, 0)$.

Координаты середины ребра $B_1C_1$: $M_1 = \left(\frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{1+1}{2}\right) = (1, 0.5, 1)$.

Таким образом, ось вращения $c$ – это прямая, заданная уравнениями $x=1, y=0.5$, параллельная оси $Oz$.

Тело вращения, полученное при вращении куба вокруг этой оси, представляет собой обобщенный цилиндр высотой $h=1$. Основанием этого цилиндра является фигура, которую заметает квадрат $ABCD$ при вращении в плоскости $z=0$ вокруг точки $(1, 0.5)$.

Объем

Объем тела вращения $V$ равен произведению площади его основания $S_{осн}$ на высоту $h$.

$V = S_{осн} \cdot h$

Высота тела вращения равна высоте куба, $h=1$.

Основание тела вращения — это фигура, полученная вращением квадрата с вершинами $A(0,0)$, $B(1,0)$, $C(1,1)$, $D(0,1)$ вокруг точки $P(1, 0.5)$. Эта фигура представляет собой круг, так как ось вращения находится на границе квадрата (на ребре $BC$).

Радиус этого круга $R$ равен максимальному расстоянию от точек квадрата до оси вращения. Найдем расстояние от каждой вершины квадрата до точки $P(1, 0.5)$:

$PA = \sqrt{(0-1)^2 + (0-0.5)^2} = \sqrt{1 + 0.25} = \sqrt{1.25} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

$PB = \sqrt{(1-1)^2 + (0-0.5)^2} = \sqrt{0 + 0.25} = \sqrt{0.25} = 0.5$

$PC = \sqrt{(1-1)^2 + (1-0.5)^2} = \sqrt{0 + 0.25} = \sqrt{0.25} = 0.5$

$PD = \sqrt{(0-1)^2 + (1-0.5)^2} = \sqrt{1 + 0.25} = \sqrt{1.25} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

Максимальное расстояние $R_{max}$ равно $\frac{\sqrt{5}}{2}$. Минимальное расстояние $R_{min}$ равно 0, так как ось вращения проходит через ребро куба.

Следовательно, основанием тела вращения является круг радиусом $R = R_{max} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Площадь основания: $S_{осн} = \pi R^2 = \pi \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2 = \frac{5\pi}{4}$.

Объем тела вращения:

$V = S_{осн} \cdot h = \frac{5\pi}{4} \cdot 1 = \frac{5\pi}{4}$.

Ответ: $V = \frac{5\pi}{4}$.

Площадь поверхности

Площадь поверхности тела вращения $S$ состоит из площади двух оснований (верхнего и нижнего) $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$.

$S = 2S_{осн} + S_{бок}$

Площадь одного основания мы уже нашли: $S_{осн} = \frac{5\pi}{4}$. Таким образом, $2S_{осн} = 2 \cdot \frac{5\pi}{4} = \frac{5\pi}{2}$.

Боковая поверхность образуется при вращении четырех вертикальных граней куба. Ее площадь можно найти, проинтегрировав длину пути $2\pi r$ вдоль периметра основания (квадрата $ABCD$) и умножив на высоту $h=1$. Расстояние от точки $(x,y)$ на периметре до оси вращения $(1, 0.5)$ равно $r(x,y) = \sqrt{(x-1)^2 + (y-0.5)^2}$.

$S_{бок} = h \oint_{ABCD} 2\pi r(x,y) dl = 2\pi \oint_{ABCD} r(x,y) dl$

Разобьем интеграл по четырем сторонам квадрата:

1. Сторона $AB$ ($y=0, x \in [0,1]$): $r(x,0) = \sqrt{(x-1)^2 + (0-0.5)^2} = \sqrt{(x-1)^2 + 0.25}$.

$\int_0^1 \sqrt{(x-1)^2 + 0.25} dx = \left[ \frac{x-1}{2}\sqrt{(x-1)^2+0.25} + \frac{0.25}{2}\ln(x-1+\sqrt{(x-1)^2+0.25}) \right]_0^1 = \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{1}{8}\ln(2+\sqrt{5})$

2. Сторона $BC$ ($x=1, y \in [0,1]$): $r(1,y) = \sqrt{(1-1)^2 + (y-0.5)^2} = |y-0.5|$.

$\int_0^1 |y-0.5| dy = \int_0^{0.5} (0.5-y) dy + \int_{0.5}^1 (y-0.5) dy = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{1}{4}$.

3. Сторона $CD$ ($y=1, x \in [0,1]$, интегрируем от $x=1$ до $x=0$): $r(x,1) = \sqrt{(x-1)^2 + (1-0.5)^2} = \sqrt{(x-1)^2 + 0.25}$. Интеграл такой же, как для $AB$.

$\int_0^1 \sqrt{(x-1)^2 + 0.25} dx = \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{1}{8}\ln(2+\sqrt{5})$

4. Сторона $DA$ ($x=0, y \in [0,1]$, интегрируем от $y=1$ до $y=0$): $r(0,y) = \sqrt{(0-1)^2 + (y-0.5)^2} = \sqrt{1 + (y-0.5)^2}$.

$\int_0^1 \sqrt{1+(y-0.5)^2} dy = \left[ \frac{y-0.5}{2}\sqrt{1+(y-0.5)^2} + \frac{1}{2}\ln(y-0.5+\sqrt{1+(y-0.5)^2}) \right]_0^1 = \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+\sqrt{5}}{-1+\sqrt{5}}\right) = \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{1}{2}\ln\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)$.

Суммируем все четыре интеграла:

$\oint r dl = \left(\frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{1}{8}\ln(2+\sqrt{5})\right) + \frac{1}{4} + \left(\frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{1}{8}\ln(2+\sqrt{5})\right) + \left(\frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{1}{2}\ln\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)\right)$

$\oint r dl = \frac{1}{4} + \frac{3\sqrt{5}}{4} + \frac{1}{4}\ln(2+\sqrt{5}) + \frac{1}{2}\ln\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)$.

Теперь находим площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = 2\pi \left( \frac{1}{4} + \frac{3\sqrt{5}}{4} + \frac{1}{4}\ln(2+\sqrt{5}) + \frac{1}{2}\ln\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right) \right) = \pi\left( \frac{1}{2} + \frac{3\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2}\ln(2+\sqrt{5}) + \ln\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right) \right)$.

Полная площадь поверхности:

$S = 2S_{осн} + S_{бок} = \frac{5\pi}{2} + \pi\left( \frac{1}{2} + \frac{3\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2}\ln(2+\sqrt{5}) + \ln\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right) \right)$

$S = \pi\left( \frac{5}{2} + \frac{1}{2} + \frac{3\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2}\ln(2+\sqrt{5}) + \ln\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right) \right)$

$S = \pi\left( 3 + \frac{3\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2}\ln(2+\sqrt{5}) + \ln\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right) \right)$.

Ответ: $S = \pi\left( 3 + \frac{3\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2}\ln(2+\sqrt{5}) + \ln\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right) \right)$.