Номер 1, страница 110 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ вокруг прямой $AA_1$.

Пусть дан единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ со стороной $a=1$. Осью вращения является прямая $AA_1$, проходящая через ребро куба.

Для удобства введем систему координат. Поместим вершину $A$ в начало координат $(0,0,0)$, а ребро $AA_1$ расположим вдоль оси $Oz$. Тогда вершины куба будут иметь следующие координаты:

• $A = (0,0,0)$
• $B = (1,0,0)$
• $D = (0,1,0)$
• $C = (1,1,0)$
• $A_1 = (0,0,1)$
• $B_1 = (1,0,1)$
• $D_1 = (0,1,1)$
• $C_1 = (1,1,1)$

Ось вращения — это ось $Oz$.

Объем

Тело вращения образуется путем вращения всего объема куба вокруг оси $AA_1$. Чтобы найти объем этого тела, достаточно определить его форму. При вращении куба каждая его точка описывает окружность в плоскости, перпендикулярной оси вращения.

Рассмотрим поперечное сечение куба плоскостью $z=const$, где $0 \le z \le 1$. Это сечение представляет собой квадрат со стороной 1, вершины которого в плоскости $xy$ имеют координаты $(0,0), (1,0), (1,1), (0,1)$. При вращении этого квадрата вокруг начала координат (точки пересечения оси $AA_1$ с плоскостью сечения) заметается вся область внутри окружности, радиус которой равен максимальному расстоянию от точки квадрата до центра вращения.

Самая удаленная от оси вращения $AA_1$ точка куба — это любая точка на ребре $CC_1$. Расстояние от любой точки ребра $CC_1$ до оси $AA_1$ постоянно и равно длине диагонали основания $AC$.

Радиус вращения $R$ равен расстоянию от точки $C(1,1,0)$ до оси $Oz$ (прямой $AA_1$):

$R = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

Таким образом, тело вращения представляет собой прямой круговой цилиндр, высота которого равна длине ребра $AA_1$, а радиус основания равен $R=\sqrt{2}$.

Высота цилиндра $h = AA_1 = 1$.

Объем цилиндра вычисляется по формуле:

$V = \pi R^2 h$

Подставляем наши значения:

$V = \pi (\sqrt{2})^2 \cdot 1 = 2\pi$

Ответ: $V = 2\pi$

Площадь поверхности

Площадь поверхности тела вращения состоит из площадей двух оснований (верхнего и нижнего) и площади боковой поверхности.

1. Площадь оснований.

Нижнее основание тела вращения образуется вращением грани $ABCD$ вокруг вершины $A$. Как мы установили, это круг радиусом $R = AC = \sqrt{2}$.

Площадь нижнего основания: $S_{нижн} = \pi R^2 = \pi (\sqrt{2})^2 = 2\pi$.

Верхнее основание образуется вращением грани $A_1B_1C_1D_1$ вокруг вершины $A_1$. Это также круг радиусом $R = A_1C_1 = \sqrt{2}$.

Площадь верхнего основания: $S_{верх} = \pi R^2 = \pi (\sqrt{2})^2 = 2\pi$.

2. Площадь боковой поверхности.

Боковая поверхность тела вращения образуется вращением тех граней куба, которые не лежат в плоскостях оснований. Это боковые грани куба: $ABB_1A_1$, $ADD_1A_1$, $BCC_1B_1$, $CDD_1C_1$.

Грани $ABB_1A_1$ и $ADD_1A_1$ содержат ось вращения. При вращении они "заметают" объем, но не формируют внешнюю поверхность тела вращения.

Внешняя боковая поверхность образуется вращением самых дальних от оси граней: $BCC_1B_1$ и $CDD_1C_1$.

Площадь поверхности, образуемой вращением плоской фигуры, можно найти по формуле, являющейся обобщением теоремы Паппа-Гульдина: $S_{бок} = \int_{F} 2\pi r \,dA$, где $F$ — вращаемая поверхность, $dA$ — элемент ее площади, а $r$ — расстояние от элемента $dA$ до оси вращения.

Найдем площадь поверхности, образуемой вращением грани $BCC_1B_1$. Эта грань является квадратом в плоскости $x=1$. Точка на этой грани имеет координаты $(1, y, z)$, где $0 \le y \le 1$ и $0 \le z \le 1$. Расстояние от этой точки до оси вращения $Oz$ равно $r = \sqrt{1^2 + y^2} = \sqrt{1+y^2}$. Элемент площади $dA = dy\,dz$.

$S_{BCC_1B_1} = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} 2\pi \sqrt{1+y^2} \,dy\,dz = 2\pi \int_{0}^{1} dz \int_{0}^{1} \sqrt{1+y^2} \,dy$

Интеграл по $z$ равен 1. Вычислим интеграл по $y$:

$\int \sqrt{1+y^2} \,dy = \frac{y}{2}\sqrt{1+y^2} + \frac{1}{2}\ln(y+\sqrt{1+y^2})$

$\int_{0}^{1} \sqrt{1+y^2} \,dy = \left[ \frac{y}{2}\sqrt{1+y^2} + \frac{1}{2}\ln(y+\sqrt{1+y^2}) \right]_{0}^{1} = \left( \frac{1}{2}\sqrt{2} + \frac{1}{2}\ln(1+\sqrt{2}) \right) - (0 + \frac{1}{2}\ln(1)) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2}\ln(1+\sqrt{2})$

Тогда $S_{BCC_1B_1} = 2\pi \left( \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2}\ln(1+\sqrt{2}) \right) = \pi\sqrt{2} + \pi\ln(1+\sqrt{2})$.

Для грани $CDD_1C_1$ (квадрат в плоскости $y=1$) расчеты аналогичны. Точка на грани $(x, 1, z)$, расстояние до оси $r = \sqrt{x^2+1}$. Интеграл будет таким же.

$S_{CDD_1C_1} = \pi\sqrt{2} + \pi\ln(1+\sqrt{2})$.

Поверхности, образованные вращением этих двух граней, пересекаются только по линии, образованной вращением ребра $CC_1$, поэтому площадь их объединения равна сумме их площадей.

$S_{бок} = S_{BCC_1B_1} + S_{CDD_1C_1} = 2(\pi\sqrt{2} + \pi\ln(1+\sqrt{2})) = 2\pi\sqrt{2} + 2\pi\ln(1+\sqrt{2})$.

Полная площадь поверхности $S_{полн}$ равна сумме площадей оснований и боковой поверхности:

$S_{полн} = S_{нижн} + S_{верх} + S_{бок} = 2\pi + 2\pi + 2\pi\sqrt{2} + 2\pi\ln(1+\sqrt{2}) = 4\pi + 2\pi\sqrt{2} + 2\pi\ln(1+\sqrt{2})$

$S_{полн} = 2\pi(2 + \sqrt{2} + \ln(1+\sqrt{2}))$

Ответ: $S_{полн} = 2\pi(2 + \sqrt{2} + \ln(1+\sqrt{2}))$