Номер 23, страница 110 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

23. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения правильного шестиугольника ABCDEF со стороной 1 см вокруг прямой AD.

24. Н

Задан правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной $a=1$ см. Ось вращения — большая диагональ $AD$.

Тело вращения, которое образуется при вращении шестиугольника вокруг оси $AD$, состоит из центрального цилиндра и двух одинаковых конусов, присоединенных к его основаниям. Эта фигура симметрична, поэтому для нахождения ее объема и площади поверхности достаточно рассмотреть вращение верхней половины шестиугольника — трапеции $ABCD$ — вокруг оси $AD$.

Для расчетов найдем ключевые параметры составных частей тела вращения:

1. Радиус ($r$) оснований цилиндра и конусов. Он равен расстоянию от вершин $B$ и $C$ до оси вращения $AD$. В правильном шестиугольнике со стороной $a$ это расстояние равно $r = a \cdot \sin(60^\circ)$. При $a=1$ см, получаем $r = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

2. Высота цилиндра ($h_{цил}$). Цилиндрическая часть образуется вращением стороны $BC$. Так как $BC$ параллельна оси $AD$, высота цилиндра равна длине стороны $BC$. $h_{цил} = a = 1$ см.

3. Образующая конусов ($l$). Конические части образуются вращением сторон $AB$ и $CD$. Длина образующей равна стороне шестиугольника: $l = a = 1$ см.

4. Высота конусов ($h_{кон}$). Это проекция образующей $AB$ (или $CD$) на ось вращения $AD$. Она равна $h_{кон} = l \cdot \cos(60^\circ) = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ см.

Объем тела вращения

Общий объем $V$ тела вращения складывается из объема цилиндра $V_{цил}$ и объемов двух конусов $2V_{кон}$.

Объем цилиндра вычисляется по формуле: $V_{цил} = \pi r^2 h_{цил}$.

Подставляем значения: $V_{цил} = \pi \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \cdot 1 = \pi \cdot \frac{3}{4} = \frac{3\pi}{4}$ см³.

Объем одного конуса вычисляется по формуле: $V_{кон} = \frac{1}{3} \pi r^2 h_{кон}$.

Подставляем значения: $V_{кон} = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{3} \pi \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\pi}{8}$ см³.

Суммарный объем тела вращения:

$V = V_{цил} + 2V_{кон} = \frac{3\pi}{4} + 2 \cdot \frac{\pi}{8} = \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi}{4} = \pi$ см³.

Ответ: $\pi$ см³.

Площадь поверхности тела вращения

Площадь поверхности $S$ тела вращения складывается из площади боковой поверхности цилиндра $S_{цил}$ и площадей боковых поверхностей двух конусов $2S_{кон}$ (основания цилиндра и конусов находятся внутри тела и в площадь поверхности не входят).

Площадь боковой поверхности цилиндра: $S_{цил} = 2 \pi r h_{цил}$.

Подставляем значения: $S_{цил} = 2 \pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \sqrt{3}\pi$ см².

Площадь боковой поверхности одного конуса: $S_{кон} = \pi r l$.

Подставляем значения: $S_{кон} = \pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \frac{\sqrt{3}\pi}{2}$ см².

Суммарная площадь поверхности тела вращения:

$S = S_{цил} + 2S_{кон} = \sqrt{3}\pi + 2 \cdot \frac{\sqrt{3}\pi}{2} = \sqrt{3}\pi + \sqrt{3}\pi = 2\sqrt{3}\pi$ см².

Ответ: $2\sqrt{3}\pi$ см².