Номер 16, страница 110 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

16. В прямоугольном треугольнике $ABC$ $AC = 3$, $BC = 4$, $\angle C = 90^\circ$, $CH$ — высота. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения этого треугольника вокруг прямой $CH$.

Тело, которое образуется при вращении прямоугольного треугольника $ABC$ вокруг высоты $CH$, состоит из двух конусов. У этих конусов общая вершина в точке $C$ и общая высота, равная длине отрезка $CH$. Их основания лежат в одной плоскости, которая перпендикулярна оси вращения $CH$.

Для нахождения объема и площади поверхности тела вращения сначала вычислим ключевые размеры треугольника:

1. Найдем длину гипотенузы $AB$ по теореме Пифагора:
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

2. Найдем высоту $CH$, проведенную к гипотенузе, используя формулу площади треугольника:
Площадь $S$ треугольника $ABC$ можно вычислить как $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$.
С другой стороны, $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH$.
Приравнивая два выражения для площади, получаем: $6 = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot CH$, откуда $CH = \frac{12}{5} = 2.4$.

3. Найдем длины проекций катетов на гипотенузу — отрезков $AH$ и $BH$. Из прямоугольного треугольника $ACH$ по теореме Пифагора:
$AH = \sqrt{AC^2 - CH^2} = \sqrt{3^2 - (\frac{12}{5})^2} = \sqrt{9 - \frac{144}{25}} = \sqrt{\frac{225 - 144}{25}} = \sqrt{\frac{81}{25}} = \frac{9}{5} = 1.8$.
Длину отрезка $BH$ можно найти как разность: $BH = AB - AH = 5 - \frac{9}{5} = \frac{25-9}{5} = \frac{16}{5} = 3.2$.

Таким образом, тело вращения состоит из двух конусов со следующими параметрами:
Первый конус: высота $h = CH = \frac{12}{5}$, радиус основания $R_1 = AH = \frac{9}{5}$, образующая $l_1 = AC = 3$.
Второй конус: высота $h = CH = \frac{12}{5}$, радиус основания $R_2 = BH = \frac{16}{5}$, образующая $l_2 = BC = 4$.

Объем тела вращения

Объем тела вращения $V$ равен сумме объемов двух конусов ($V_1$ и $V_2$).
$V = V_1 + V_2 = \frac{1}{3}\pi R_1^2 h + \frac{1}{3}\pi R_2^2 h = \frac{1}{3}\pi h (R_1^2 + R_2^2)$.
Подставим значения:
$V = \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{12}{5} \left( \left(\frac{9}{5}\right)^2 + \left(\frac{16}{5}\right)^2 \right) = \frac{4\pi}{5} \left( \frac{81}{25} + \frac{256}{25} \right) = \frac{4\pi}{5} \cdot \frac{337}{25} = \frac{1348\pi}{125}$.
Ответ: Объем тела вращения равен $\frac{1348\pi}{125}$.

Площадь поверхности тела вращения

Площадь поверхности тела вращения $S$ равна сумме площадей боковых поверхностей двух конусов ($S_1$ и $S_2$), так как их основания находятся внутри тела.
$S = S_1 + S_2 = \pi R_1 l_1 + \pi R_2 l_2$.
Подставим значения:
$S = \pi \cdot \frac{9}{5} \cdot 3 + \pi \cdot \frac{16}{5} \cdot 4 = \frac{27\pi}{5} + \frac{64\pi}{5} = \frac{91\pi}{5}$.
Ответ: Площадь поверхности тела вращения равна $\frac{91\pi}{5}$.