Номер 9, страница 109 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

9. В равнобедренном треугольнике ABC $AC = BC = 1$, $\angle C = 120^\circ$. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения этого треугольника вокруг прямой AB.

Тело, полученное при вращении равнобедренного треугольника ABC вокруг его основания AB, представляет собой два одинаковых конуса, соединенных своими основаниями. Осью вращения является прямая AB.

Проведем высоту CH из вершины C на основание AB. Так как треугольник ABC равнобедренный, высота CH, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Следовательно, точка H делит основание AB пополам, а угол C делится на два равных угла: $\angle ACH = \angle BCH = \frac{\angle C}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$.

Тело вращения состоит из двух конусов, образованных вращением прямоугольных треугольников ACH и BCH вокруг катетов AH и BH соответственно. Найдем параметры этих конусов. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH:
- Образующая конуса $l$ равна гипотенузе AC: $l = AC = 1$.
- Радиус основания конуса $r$ равен катету CH. $r = CH = AC \cdot \cos(\angle ACH) = 1 \cdot \cos(60^\circ) = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
- Высота конуса $h$ равна катету AH. $h = AH = AC \cdot \sin(\angle ACH) = 1 \cdot \sin(60^\circ) = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Объем

Объем тела вращения $V$ равен сумме объемов двух одинаковых конусов. Объем одного конуса вычисляется по формуле $V_{конуса} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$.
$V = 2 \cdot V_{конуса} = 2 \cdot \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{2}{3}\pi \left(\frac{1}{2}\right)^2 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{2}{3}\pi \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2\pi\sqrt{3}}{24} = \frac{\pi\sqrt{3}}{12}$.
Ответ: $\frac{\pi\sqrt{3}}{12}$.

Площадь поверхности

Площадь поверхности тела вращения $S$ состоит из суммы площадей боковых поверхностей двух конусов. Основания конусов находятся внутри тела и не учитываются. Площадь боковой поверхности одного конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi r l$.
$S = 2 \cdot S_{бок} = 2 \cdot \pi r l = 2 \pi \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = \pi$.
Ответ: $\pi$.