Номер 2, страница 108 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

2. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения прямоугольного треугольника $ABC$ с катетами $AC = BC = 1$ см вокруг прямой, содержащей высоту $CH$ этого треугольника.

Объем тела вращения
Исходные данные: прямоугольный треугольник $ABC$ с катетами $AC = BC = 1$ см. Так как катеты равны, треугольник является равнобедренным, с прямым углом при вершине $C$. Осью вращения служит прямая, содержащая высоту $CH$, проведенную к гипотенузе $AB$.
Тело, полученное при вращении треугольника $ABC$ вокруг высоты $CH$, представляет собой два одинаковых конуса с общим основанием. Вершина обоих конусов находится в точке $C$, а их общее основание — это круг, который описывают точки $A$ и $B$ при вращении вокруг оси $CH$.
Для нахождения объема этого тела необходимо определить параметры конусов: высоту $h$ и радиус основания $r$.
1. Найдем длину гипотенузы $AB$ по теореме Пифагора:
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ см.
2. В равнобедренном треугольнике высота $CH$, проведенная к основанию, является также и медианой. Следовательно, точка $H$ — середина гипотенузы $AB$. Радиус основания $r$ каждого конуса равен половине длины гипотенузы:
$r = AH = HB = \frac{AB}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.
3. Высота $h$ каждого конуса равна длине высоты $CH$. Найдем ее из прямоугольного треугольника $ACH$:
$h = CH = \sqrt{AC^2 - AH^2} = \sqrt{1^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{2}{4}} = \sqrt{1 - \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.
4. Объем одного конуса вычисляется по формуле $V_{конуса} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$. Подставим найденные значения $r$ и $h$:
$V_{конуса} = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi\sqrt{2}}{12}$ см³.
5. Общий объем тела вращения $V$ равен сумме объемов двух одинаковых конусов:
$V = 2 \cdot V_{конуса} = 2 \cdot \frac{\pi\sqrt{2}}{12} = \frac{\pi\sqrt{2}}{6}$ см³.
Ответ: $\frac{\pi\sqrt{2}}{6}$ см³.

Площадь поверхности тела вращения
Площадь поверхности полученного тела вращения состоит из площадей боковых поверхностей двух конусов. Их общее основание находится внутри тела, поэтому его площадь в расчете не участвует.
Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi r l$, где $r$ — радиус основания, а $l$ — длина образующей.
1. Радиус основания конусов нам уже известен: $r = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.
2. Образующей $l$ для каждого конуса является соответствующий катет исходного треугольника: $l = AC = BC = 1$ см.
3. Вычислим площадь боковой поверхности одного конуса:
$S_{бок} = \pi \cdot r \cdot l = \pi \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 = \frac{\pi\sqrt{2}}{2}$ см².
4. Полная площадь поверхности тела $S$ равна сумме площадей боковых поверхностей двух конусов:
$S = 2 \cdot S_{бок} = 2 \cdot \frac{\pi\sqrt{2}}{2} = \pi\sqrt{2}$ см².
Ответ: $\pi\sqrt{2}$ см².