Номер 8, страница 109 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

8. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения равностороннего треугольника ABC со сторонами, равными 1 см, вокруг прямой AB.

Объем тела вращения

При вращении равностороннего треугольника ABC вокруг стороны AB образуется тело, состоящее из двух одинаковых конусов, соединенных общим основанием. Вершины этих конусов находятся в точках A и B, а общее основание — это окружность, которую описывает вершина C при вращении.

Пусть сторона треугольника $a = 1$ см. Радиус $r$ общего основания конусов равен высоте треугольника ABC, опущенной из вершины C на сторону AB. Для равностороннего треугольника со стороной $a$ высота $h$ вычисляется по формуле: $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Подставляя $a = 1$ см, получаем радиус: $r = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Высота каждого из двух конусов $h_к$ равна половине стороны AB, так как высота в равностороннем треугольнике является и медианой. $h_к = \frac{a}{2} = \frac{1}{2}$ см.

Объем одного конуса $V_к$ вычисляется по формуле: $V_к = \frac{1}{3} \pi r^2 h_к$. Подставим найденные значения $r$ и $h_к$: $V_к = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{3} \pi \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3\pi}{24} = \frac{\pi}{8}$ см$^3$.

Общий объем тела вращения $V$ равен сумме объемов двух конусов: $V = 2 \cdot V_к = 2 \cdot \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{4}$ см$^3$.

Ответ: $\frac{\pi}{4}$ см$^3$.

Площадь поверхности тела вращения

Площадь поверхности тела вращения состоит из площадей боковых поверхностей двух конусов. Основания конусов являются внутренними для тела и в площадь его поверхности не входят.

Площадь боковой поверхности одного конуса $S_{бок}$ вычисляется по формуле: $S_{бок} = \pi r l$, где $r$ — радиус основания, а $l$ — длина образующей.

Из предыдущего пункта мы знаем радиус основания: $r = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см. Образующая $l$ каждого конуса — это сторона треугольника AC (для первого конуса) или BC (для второго конуса). Следовательно, $l = a = 1$ см.

Найдем площадь боковой поверхности одного конуса: $S_{бок} = \pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \frac{\pi\sqrt{3}}{2}$ см$^2$.

Полная площадь поверхности тела вращения $S$ равна сумме площадей боковых поверхностей двух конусов: $S = 2 \cdot S_{бок} = 2 \cdot \frac{\pi\sqrt{3}}{2} = \pi\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $\pi\sqrt{3}$ см$^2$.