Номер 7, страница 109 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

7. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения прямоугольного треугольника $ABC$ с катетами $AC = BC = 1 \text{ см}$ вокруг прямой $AB$.

Тело, полученное вращением прямоугольного треугольника $ABC$ вокруг его гипотенузы $AB$, представляет собой два конуса с общим основанием. Вершина $C$ треугольника при вращении образует окружность, которая является общим основанием этих двух конусов.

Для решения задачи найдем основные параметры этого тела вращения:

1. Гипотенуза $AB$. Треугольник $ABC$ — прямоугольный с катетами $AC = 1$ см и $BC = 1$ см. По теореме Пифагора: $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ см. Гипотенуза $AB$ является осью вращения и суммой высот двух конусов.

2. Радиус общего основания конусов. Радиус $r$ основания конусов равен высоте $CH$, проведенной из вершины прямого угла $C$ к гипотенузе $AB$. Площадь треугольника $ABC$ можно выразить двумя способами: $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$ см$^2$. $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot r$. Приравнивая оба выражения для площади, получаем: $\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot r = \frac{1}{2}$, откуда $r = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

3. Высоты и образующие конусов. Тело состоит из двух конусов. - Первый конус имеет высоту $h_1 = AH$ и образующую $l_1 = AC = 1$ см. - Второй конус имеет высоту $h_2 = BH$ и образующую $l_2 = BC = 1$ см. Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный, высота $CH$ является и медианой, поэтому $H$ — середина $AB$. Следовательно, высоты конусов равны: $h_1 = h_2 = \frac{AB}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см. Сумма высот $h_1 + h_2 = AB = \sqrt{2}$ см.

Объем

Объем $V$ тела вращения равен сумме объемов двух конусов. Формула объема конуса $V_{конуса} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$. $V = V_1 + V_2 = \frac{1}{3}\pi r^2 h_1 + \frac{1}{3}\pi r^2 h_2 = \frac{1}{3}\pi r^2 (h_1 + h_2)$. Подставляем найденные значения: $r = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $h_1 + h_2 = \sqrt{2}$. $V = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 \cdot \sqrt{2} = \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{2}{4} \cdot \sqrt{2} = \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} = \frac{\pi\sqrt{2}}{6}$ см$^3$.
Ответ: $V = \frac{\pi\sqrt{2}}{6}$ см$^3$.

Площадь поверхности

Площадь поверхности $S$ тела вращения равна сумме площадей боковых поверхностей двух конусов. Общее основание находится внутри тела, поэтому его площадь не учитывается. Формула площади боковой поверхности конуса $S_{бок} = \pi r l$. $S = S_{бок1} + S_{бок2} = \pi r l_1 + \pi r l_2$. Поскольку образующие $l_1 = AC = 1$ и $l_2 = BC = 1$, получаем: $S = \pi r (l_1 + l_2) = \pi r (1 + 1) = 2\pi r$. Подставляем значение радиуса $r = \frac{\sqrt{2}}{2}$: $S = 2\pi \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \pi\sqrt{2}$ см$^2$.
Ответ: $S = \pi\sqrt{2}$ см$^2$.