Номер 14, страница 109 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

14. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения прямоугольной трапеции $ABCD$ с основаниями $AB$ и $CD$, равными соответственно 2 см и 1 см, меньшей боковой стороной, равной 1 см, вокруг прямой $AB$.

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, у которой основания $AB$ и $CD$ параллельны, а одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям. Пусть этой стороной будет $AD$. Тогда $AD$ является высотой трапеции.

По условию, основания равны $AB = 2$ см и $CD = 1$ см. Меньшая боковая сторона равна 1 см. Сравним длины боковых сторон $AD$ и $BC$.

Проведем из вершины $C$ высоту $CH$ на основание $AB$. Так как $AD$ перпендикулярна $AB$ и $CD$ параллельна $AB$, фигура $AHCD$ является прямоугольником. Следовательно, $AH = CD = 1$ см и $CH = AD$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CHB$. Катет $HB = AB - AH = 2 - 1 = 1$ см. Катет $CH$ равен высоте трапеции $AD$. Гипотенуза $BC$ (вторая боковая сторона) по теореме Пифагора равна $BC = \sqrt{CH^2 + HB^2} = \sqrt{AD^2 + 1^2}$.

Поскольку $AD$ — меньшая боковая сторона, ее длина должна быть меньше длины $BC$. Если предположить, что $AD = 1$ см, то $BC = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ см. Так как $1 < \sqrt{2}$, наше предположение верно. Таким образом, высота трапеции $h = AD = 1$ см.

Тело вращения образуется при вращении трапеции $ABCD$ вокруг большего основания $AB$. Это тело можно представить как комбинацию двух более простых тел:

• Цилиндра, образованного вращением прямоугольника $AHCD$ вокруг стороны $AH$.
• Конуса, образованного вращением прямоугольного треугольника $CHB$ вокруг катета $HB$.

Найдем объем тела вращения

Общий объем тела вращения $V$ равен сумме объема цилиндра $V_{цил}$ и объема конуса $V_{кон}$.

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V_{цил} = \pi r^2 h_{цил}$. Радиус основания цилиндра $r$ равен высоте трапеции $AD$, а высота цилиндра $h_{цил}$ равна стороне $AH$.
$r = AD = 1$ см
$h_{цил} = AH = 1$ см
$V_{цил} = \pi \cdot 1^2 \cdot 1 = \pi$ см$^3$.

Объем конуса вычисляется по формуле $V_{кон} = \frac{1}{3} \pi r^2 h_{кон}$. Радиус основания конуса $r$ равен высоте $CH$, а высота конуса $h_{кон}$ равна отрезку $HB$.
$r = CH = 1$ см
$h_{кон} = HB = 1$ см
$V_{кон} = \frac{1}{3} \pi \cdot 1^2 \cdot 1 = \frac{\pi}{3}$ см$^3$.

Суммарный объем тела вращения:
$V = V_{цил} + V_{кон} = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi + \pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$ см$^3$.

Ответ: Объем тела вращения равен $\frac{4\pi}{3}$ см$^3$.

Найдем площадь поверхности тела вращения

Полная площадь поверхности тела вращения $S$ состоит из трех частей:

1. Площади основания цилиндра $S_{осн}$ (круг, образованный вращением стороны $AD$).
2. Площади боковой поверхности цилиндра $S_{бок.цил}$ (образована вращением стороны $CD$).
3. Площади боковой поверхности конуса $S_{бок.кон}$ (образована вращением стороны $BC$).

1. Площадь основания цилиндра (круга с радиусом $r=AD=1$ см):
$S_{осн} = \pi r^2 = \pi \cdot 1^2 = \pi$ см$^2$.

2. Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок.цил} = 2\pi r l$, где $r$ - радиус цилиндра, а $l$ - его образующая (в данном случае длина $CD$).
$r = AD = 1$ см
$l = CD = 1$ см
$S_{бок.цил} = 2\pi \cdot 1 \cdot 1 = 2\pi$ см$^2$.

3. Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок.кон} = \pi r L$, где $r$ - радиус основания конуса, а $L$ - длина его образующей (сторона $BC$).
$r = CH = 1$ см
$L = BC = \sqrt{2}$ см
$S_{бок.кон} = \pi \cdot 1 \cdot \sqrt{2} = \pi\sqrt{2}$ см$^2$.

Суммарная площадь поверхности тела вращения:
$S = S_{осн} + S_{бок.цил} + S_{бок.кон} = \pi + 2\pi + \pi\sqrt{2} = 3\pi + \pi\sqrt{2} = \pi(3 + \sqrt{2})$ см$^2$.

Ответ: Площадь поверхности тела вращения равна $\pi(3 + \sqrt{2})$ см$^2$.