Номер 19, страница 110 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

19. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения равнобедренной трапеции $ABCD$ с боковыми сторонами $AD$ и $BC$, равными 1 см, и основаниями $AB$ и $CD$, равными соответственно 2 см и 1 см, вокруг прямой $c$, содержащей среднюю линию этой трапеции.

Объем

Для нахождения объема тела вращения, образованного вращением равнобедренной трапеции ABCD вокруг прямой, содержащей ее среднюю линию, воспользуемся методом разложения тела на более простые составные части.

1. Найдем высоту трапеции. Пусть основания трапеции $AB = a = 2$ см и $CD = b = 1$ см. Боковые стороны $AD = BC = l = 1$ см. Проведем высоты из вершин C и D к основанию AB. Так как трапеция равнобедренная, они отсекут на большем основании отрезки, равные $(a-b)/2$.$$ \frac{a-b}{2} = \frac{2-1}{2} = 0.5 \text{ см} $$Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной, высотой $h$ и отрезком 0.5 см. По теореме Пифагора:$$ h^2 + (0.5)^2 = l^2 $$$$ h^2 + 0.25 = 1^2 $$$$ h^2 = 0.75 $$$$ h = \sqrt{0.75} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ см} $$

2. Ось вращения — средняя линия трапеции. Она делит трапецию на две меньшие трапеции. Мы можем рассчитать объемы тел вращения, образованных этими двумя частями, и сложить их. Расстояние от средней линии до каждого из оснований равно $h/2 = \frac{\sqrt{3}}{4}$ см. Длина средней линии $m = (a+b)/2 = (2+1)/2 = 1.5$ см.

3. Объем $V_{верх}$, образованный вращением верхней трапеции (с основаниями 1 см и 1.5 см и высотой $\frac{\sqrt{3}}{4}$ см) вокруг ее большего основания (средней линии). Это тело состоит из цилиндра и двух одинаковых конусов.

• Радиус основания цилиндра и конусов равен высоте этой трапеции: $r = h/2 = \frac{\sqrt{3}}{4}$ см.
• Длина цилиндра равна меньшему основанию: $L_{цил} = b = 1$ см.
• Высота каждого конуса: $H_{кон} = (m-b)/2 = (1.5-1)/2 = 0.25$ см.

4. Объем $V_{низ}$, образованный вращением нижней трапеции (с основаниями 2 см и 1.5 см и высотой $\frac{\sqrt{3}}{4}$ см) вокруг ее меньшего основания (средней линии). Это тело представляет собой цилиндр, из которого вырезаны два одинаковых конуса.

• Радиус основания цилиндра и конусов: $r = h/2 = \frac{\sqrt{3}}{4}$ см.
• Для нахождения объема можно представить тело как цилиндр с длиной, равной большему основанию $a=2$ см, из которого вычитаются два конуса.
• Высота каждого конуса: $H_{кон} = (a-m)/2 = (2-1.5)/2 = 0.25$ см.

5. Общий объем тела вращения равен сумме объемов верхней и нижней частей.$$ V = V_{верх} + V_{низ} = \frac{7\pi}{32} + \frac{11\pi}{32} = \frac{18\pi}{32} = \frac{9\pi}{16} \text{ см}^3 $$Ответ: объем тела вращения равен $\frac{9\pi}{16}$ см³.

Площадь поверхности

Площадь поверхности тела вращения состоит из трех частей: площади поверхности, образованной вращением основания AB (внешняя), площади поверхности, образованной вращением основания CD (внутренняя), и площадей двух поверхностей, образованных вращением боковых сторон AD и BC.

1. Площадь $S_{AB}$, образованная вращением основания AB. Это боковая поверхность цилиндра с радиусом $r = h/2 = \frac{\sqrt{3}}{4}$ см и образующей $L = AB = 2$ см.$$ S_{AB} = 2\pi r L = 2\pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 2 = \pi\sqrt{3} \text{ см}^2 $$

2. Площадь $S_{CD}$, образованная вращением основания CD. Это боковая поверхность цилиндра с радиусом $r = h/2 = \frac{\sqrt{3}}{4}$ см и образующей $L = CD = 1$ см.$$ S_{CD} = 2\pi r L = 2\pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 1 = \frac{\pi\sqrt{3}}{2} \text{ см}^2 $$

3. Площадь $S_{бок}$, образованная вращением одной боковой стороны (например, BC). Длина стороны $l=1$ см. Для нахождения площади этой поверхности воспользуемся интегральной формулой $S = \int 2\pi \rho \, dl$, где $\rho$ - расстояние от оси вращения до элемента длины $dl$.Поместим трапецию в систему координат так, чтобы средняя линия совпала с осью Ox, а ось симметрии трапеции - с осью Oy. Координаты вершин: $B(1, -\frac{\sqrt{3}}{4})$ и $C(0.5, \frac{\sqrt{3}}{4})$.Уравнение прямой BC: $y = -\sqrt{3}x + \frac{3\sqrt{3}}{4}$. Элемент длины дуги $dl = \sqrt{1+(y')^2}dx = \sqrt{1+(-\sqrt{3})^2}dx = 2dx$. Расстояние до оси вращения $\rho = |y|$.$$ S_{BC} = \int_{0.5}^{1} 2\pi |y(x)| \, dl = \int_{0.5}^{1} 2\pi |-\sqrt{3}x + \frac{3\sqrt{3}}{4}| (2dx) = 4\pi\sqrt{3} \int_{0.5}^{1} |x - \frac{3}{4}| dx $$Точка, где выражение под модулем меняет знак, это $x=3/4=0.75$.$$ \int_{0.5}^{1} |x-\frac{3}{4}| dx = \int_{0.5}^{0.75} (\frac{3}{4}-x) dx + \int_{0.75}^{1} (x-\frac{3}{4}) dx $$$$ = \left[-\frac{(3/4-x)^2}{2}\right]_{0.5}^{0.75} + \left[\frac{(x-3/4)^2}{2}\right]_{0.75}^{1} = \left(0 - (-\frac{(1/4)^2}{2})\right) + \left(\frac{(1/4)^2}{2} - 0\right) = \frac{1}{32} + \frac{1}{32} = \frac{1}{16} $$Таким образом, площадь поверхности, образованной вращением стороны BC:$$ S_{BC} = 4\pi\sqrt{3} \cdot \frac{1}{16} = \frac{\pi\sqrt{3}}{4} \text{ см}^2 $$Площадь от вращения двух боковых сторон (AD и BC) будет вдвое больше: $S_{бок} = 2 \cdot S_{BC} = 2 \cdot \frac{\pi\sqrt{3}}{4} = \frac{\pi\sqrt{3}}{2}$ см².

4. Общая площадь поверхности тела вращения:$$ S_{общ} = S_{AB} + S_{CD} + S_{бок} = \pi\sqrt{3} + \frac{\pi\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi\sqrt{3}}{2} = \pi\sqrt{3} + \pi\sqrt{3} = 2\pi\sqrt{3} \text{ см}^2 $$Ответ: площадь поверхности тела вращения равна $2\pi\sqrt{3}$ см².