Номер 12, страница 109 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

12. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения ромба ABCD со сторонами, равными 1 см, и острым углом $60^\circ$, вокруг прямой BD.

При вращении ромба $ABCD$ вокруг его диагонали $BD$ образуется тело вращения, которое состоит из двух одинаковых конусов, соединенных своими основаниями. Ось вращения $BD$ является высотой для каждого конуса (разделенной пополам в точке пересечения диагоналей), а другая диагональ $AC$ при вращении формирует общее основание — круг. Образующей каждого конуса является сторона ромба.

Даны параметры ромба: сторона $a = 1$ см и острый угол $\angle A = 60^\circ$. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Также они являются биссектрисами углов ромба.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AOB$. Гипотенуза $AB$ — это сторона ромба, которая будет являться образующей конуса $l = 1$ см. Найдем углы этого треугольника. Угол $\angle OAB = \frac{1}{2} \angle A = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ$. Сумма углов ромба, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$, поэтому тупой угол $\angle B = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Следовательно, $\angle ABO = \frac{1}{2} \angle B = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ$.

Теперь можем найти катеты треугольника $\triangle AOB$, которые являются радиусом $r$ основания конуса и высотой $h$ одного конуса:

• Радиус основания: $r = AO = AB \cdot \sin(\angle ABO) = 1 \cdot \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.
• Высота одного конуса: $h = BO = AB \cdot \cos(\angle ABO) = 1 \cdot \cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$ см.
• Образующая конуса: $l = AB = 1$ см.

Объем тела вращения

Объем $V$ всего тела вращения равен сумме объемов двух одинаковых конусов. Формула объема одного конуса: $V_{конуса} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$. $V = 2 \cdot V_{конуса} = 2 \cdot \frac{1}{3}\pi r^2 h$. Подставим найденные значения $r$ и $h$: $V = 2 \cdot \frac{1}{3}\pi \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{3}\pi \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{6\pi}{24} = \frac{\pi}{4}$ см$^3$.
Ответ: Объем тела вращения равен $\frac{\pi}{4}$ см$^3$.

Площадь поверхности тела вращения

Площадь поверхности $S$ тела вращения состоит из площадей боковых поверхностей двух конусов. Общее основание находится внутри тела, поэтому его площадь не учитывается. Формула площади боковой поверхности конуса: $S_{бок.} = \pi r l$. $S = 2 \cdot S_{бок.} = 2 \cdot \pi r l$. Подставим значения $r$ и $l$: $S = 2 \cdot \pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \pi\sqrt{3}$ см$^2$.
Ответ: Площадь поверхности тела вращения равна $\pi\sqrt{3}$ см$^2$.