Номер 5, страница 109 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

5. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения равнобедренной трапеции $ABCD$ с боковыми сторонами $AD$ и $BC$, равными 1 см, и основаниями $AB$ и $CD$, равными соответственно 2 см и 1 см, вокруг прямой $c$, проходящей через середины оснований $AB$ и $CD$.

Объем тела вращения

Тело, образованное вращением равнобедренной трапеции $ABCD$ вокруг прямой $c$, проходящей через середины ее оснований, является усеченным конусом. Найдем его параметры на основе данных задачи.
Радиус большего основания $R$ равен половине длины основания $AB$: $R = \frac{AB}{2} = \frac{2}{2} = 1$ см.
Радиус меньшего основания $r$ равен половине длины основания $CD$: $r = \frac{CD}{2} = \frac{1}{2} = 0.5$ см.
Образующая $l$ усеченного конуса равна длине боковой стороны трапеции: $l = AD = BC = 1$ см.
Высоту $h$ усеченного конуса (она же высота трапеции) найдем по теореме Пифагора. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой $h$, боковой стороной $l$ и отрезком, равным полуразности оснований $\frac{AB - CD}{2}$:
$h^2 = l^2 - \left(\frac{AB - CD}{2}\right)^2 = 1^2 - \left(\frac{2-1}{2}\right)^2 = 1 - (0.5)^2 = 1 - 0.25 = 0.75$
$h = \sqrt{0.75} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.
Объем усеченного конуса вычисляется по формуле:
$V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + Rr + r^2)$
Подставляя наши значения, получаем:
$V = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) (1^2 + 1 \cdot 0.5 + 0.5^2) = \frac{\pi\sqrt{3}}{6} (1 + 0.5 + 0.25) = \frac{\pi\sqrt{3}}{6} (1.75)$
Переведем $1.75$ в обыкновенную дробь: $1.75 = \frac{7}{4}$.
$V = \frac{\pi\sqrt{3}}{6} \cdot \frac{7}{4} = \frac{7\pi\sqrt{3}}{24}$ см³.

Ответ: $V = \frac{7\pi\sqrt{3}}{24}$ см³.

Площадь поверхности тела вращения

Площадь полной поверхности усеченного конуса складывается из площади боковой поверхности и площадей двух оснований (верхнего и нижнего).
$S_{полн} = S_{бок} + S_{нижн} + S_{верхн}$
Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = \pi l (R + r) = \pi \cdot 1 (1 + 0.5) = 1.5\pi = \frac{3\pi}{2}$ см².
Площадь нижнего (большего) основания: $S_{нижн} = \pi R^2 = \pi \cdot 1^2 = \pi$ см².
Площадь верхнего (меньшего) основания: $S_{верхн} = \pi r^2 = \pi \cdot (0.5)^2 = 0.25\pi = \frac{\pi}{4}$ см².
Суммируем все площади:
$S_{полн} = \frac{3\pi}{2} + \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{6\pi}{4} + \frac{4\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{11\pi}{4}$ см².

Ответ: $S_{полн} = \frac{11\pi}{4}$ см².