Номер 3, страница 108 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

3. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения равностороннего треугольника ABC со сторонами, равными 1 см, вокруг прямой СН, содержащей высоту этого треугольника.

Объем

Тело вращения, которое образуется при вращении равностороннего треугольника ABC вокруг своей высоты CH, представляет собой конус. Сторона треугольника $a = 1$ см является образующей конуса ($l=1$ см). Радиус основания конуса $r$ равен половине стороны треугольника: $r = a/2 = 1/2$ см. Высота конуса $h$ совпадает с высотой треугольника CH.

Найдем высоту конуса $h$ с помощью теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника AHC (где AC - гипотенуза, AH и CH - катеты):$h = \sqrt{AC^2 - AH^2} = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{1^2 - (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Объем конуса рассчитывается по формуле $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$. Подставив значения, получаем:$V = \frac{1}{3}\pi \cdot (\frac{1}{2})^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi\sqrt{3}}{24}$ см³.

Ответ: $V = \frac{\pi\sqrt{3}}{24}$ см³.

Площадь поверхности

Площадь полной поверхности конуса складывается из площади его основания ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$).$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$.

Площадь основания, которое является кругом с радиусом $r = 1/2$ см, равна:$S_{осн} = \pi r^2 = \pi \cdot (\frac{1}{2})^2 = \frac{\pi}{4}$ см².

Площадь боковой поверхности рассчитывается по формуле $S_{бок} = \pi r l$, где $r = 1/2$ см и $l=1$ см:$S_{бок} = \pi \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{\pi}{2}$ см².

Следовательно, площадь полной поверхности конуса равна:$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$ см².

Ответ: $S_{полн} = \frac{3\pi}{4}$ см².