Страница 108 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

29. Найдите площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, стороны основания которой равны 6 см и высота равна 4 см.

Площадь полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды ($S_{полн}$) вычисляется как сумма площади ее основания ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$): $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$.

1. Вычисление площади основания

В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат. Сторона основания по условию равна $a = 6$ см. Площадь квадрата вычисляется по формуле $S = a^2$.$S_{осн} = 6^2 = 36$ см$^2$.

2. Вычисление площади боковой поверхности

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ представляет собой сумму площадей четырех одинаковых боковых граней, которые являются равнобедренными треугольниками. Эту площадь можно найти по формуле $S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot h_a$, где $P$ — периметр основания, а $h_a$ — апофема (высота боковой грани).

Периметр основания (квадрата) равен:$P = 4 \cdot a = 4 \cdot 6 = 24$ см.

Апофему $h_a$ найдем из прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды $H$, апофемой $h_a$ (гипотенуза) и отрезком, соединяющим центр основания с серединой его стороны (катет, равный половине стороны основания $\frac{a}{2}$).Нам дано: высота $H = 4$ см, сторона основания $a = 6$ см, следовательно, половина стороны основания $\frac{a}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Применим теорему Пифагора:$h_a^2 = H^2 + (\frac{a}{2})^2$$h_a^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$$h_a = \sqrt{25} = 5$ см.

Теперь вычислим площадь боковой поверхности:$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot P \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 5 = 12 \cdot 5 = 60$ см$^2$.

3. Вычисление полной площади поверхности

Сложим найденные площади основания и боковой поверхности:$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 36 + 60 = 96$ см$^2$.

Ответ: 96 см$^2$.

30. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 6 см, боковые ребра равны 5 см. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Дана правильная шестиугольная пирамида. Это означает, что в ее основании лежит правильный шестиугольник, а все боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками. Площадь боковой поверхности такой пирамиды ($S_{бок}$) равна сумме площадей всех ее боковых граней. Так как граней шесть и они все одинаковы, то площадь боковой поверхности можно найти, умножив площадь одной грани на 6.
$S_{бок} = 6 \cdot S_{грани}$
Рассмотрим одну боковую грань. Это равнобедренный треугольник, у которого основание — это сторона основания пирамиды ($a = 6$ см), а боковые стороны — это боковые ребра пирамиды ($l = 5$ см).
Для нахождения площади этого треугольника нам нужна его высота, проведенная к основанию. Эта высота в правильной пирамиде называется апофемой ($h_s$). В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой, поэтому она делит основание пополам.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром (гипотенуза), апофемой (катет) и половиной стороны основания (второй катет).
Гипотенуза $l = 5$ см.
Один катет равен $\frac{a}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.
Второй катет — это апофема $h_s$.
По теореме Пифагора найдем апофему:
$l^2 = (\frac{a}{2})^2 + h_s^2$
$5^2 = 3^2 + h_s^2$
$25 = 9 + h_s^2$
$h_s^2 = 25 - 9 = 16$
$h_s = \sqrt{16} = 4$ см.
Теперь можем найти площадь одной боковой грани (треугольника):
$S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_s$
$S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$ см².
Наконец, находим площадь всей боковой поверхности пирамиды:
$S_{бок} = 6 \cdot S_{грани} = 6 \cdot 12 = 72$ см².
Ответ: 72 см².

поверхности этой пирамиды.

31. Во сколько раз увеличится площадь поверхности октаэдра, если все его ребра увеличить в три раза?

Для решения этой задачи можно использовать принцип подобия геометрических тел. Площадь поверхности любого тела пропорциональна квадрату его линейных размеров.

Пусть $S_1$ — начальная площадь поверхности октаэдра, а $a$ — начальная длина его ребра. Площадь поверхности октаэдра можно выразить через длину его ребра. Так как октаэдр состоит из 8 одинаковых равносторонних треугольников, его площадь поверхности равна $S = 8 \times (\text{площадь одного треугольника})$. Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ равна $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Таким образом, начальная площадь поверхности октаэдра:

$S_1 = 8 \times \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = 2\sqrt{3}a^2$

Согласно условию, все ребра октаэдра увеличили в 3 раза. Новая длина ребра стала $a' = 3a$.

Найдем новую площадь поверхности $S_2$, подставив в формулу новую длину ребра $a'$:

$S_2 = 2\sqrt{3}(a')^2 = 2\sqrt{3}(3a)^2 = 2\sqrt{3}(9a^2) = 9 \times (2\sqrt{3}a^2)$

Поскольку $S_1 = 2\sqrt{3}a^2$, мы можем записать:

$S_2 = 9 \times S_1$

Теперь найдем, во сколько раз увеличилась площадь поверхности, разделив новую площадь на начальную:

$\frac{S_2}{S_1} = \frac{9 \times S_1}{S_1} = 9$

Таким образом, площадь поверхности октаэдра увеличится в 9 раз.

Общий подход: При увеличении всех линейных размеров тела (длин, высот, ребер) в $k$ раз, его площадь поверхности увеличивается в $k^2$ раз, а объем — в $k^3$ раз. В нашей задаче линейные размеры (ребра) увеличились в $k=3$ раза. Следовательно, площадь поверхности увеличится в $k^2 = 3^2 = 9$ раз.

Ответ: в 9 раз.

32. Высота конуса равна 6 см, образующая равна 10 см. Найдите площадь его поверхности, деленную на $\pi$.

Для нахождения площади поверхности конуса необходимо знать его радиус основания $r$ и образующую $l$. Площадь полной поверхности конуса вычисляется как сумма площади основания ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$).

Формула площади полной поверхности конуса: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \pi r^2 + \pi r l = \pi r(r+l)$.

В задаче даны высота конуса $h = 6$ см и образующая $l = 10$ см. Радиус основания $r$ можно найти из прямоугольного треугольника, который образуют высота, радиус и образующая. В этом треугольнике $h$ и $r$ — катеты, а $l$ — гипотенуза.

Согласно теореме Пифагора, $h^2 + r^2 = l^2$.

Выразим отсюда квадрат радиуса:

$r^2 = l^2 - h^2$

Подставим известные значения:

$r^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$

Следовательно, радиус основания равен:

$r = \sqrt{64} = 8$ см.

Теперь мы можем вычислить площадь полной поверхности конуса:

$S_{полн} = \pi r(r+l) = \pi \cdot 8 \cdot (8+10) = \pi \cdot 8 \cdot 18 = 144\pi$ см$^2$.

По условию задачи требуется найти площадь поверхности, деленную на $\pi$:

$\frac{S_{полн}}{\pi} = \frac{144\pi}{\pi} = 144$.

Ответ: 144

33. Площадь боковой поверхности конуса в два раза больше площади основания. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью основания.

Пусть $r$ — радиус основания конуса, а $l$ — его образующая.

Площадь основания конуса (круга) вычисляется по формуле $S_{осн} = \pi r^2$.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi r l$.

Согласно условию задачи, площадь боковой поверхности в два раза больше площади основания: $S_{бок} = 2 \cdot S_{осн}$.

Подставим выражения для площадей в это равенство:

$\pi r l = 2 (\pi r^2)$

Разделим обе части уравнения на $\pi r$ (так как $r > 0$):

$l = 2r$

Таким образом, образующая конуса в два раза длиннее радиуса его основания.

Угол между образующей конуса и плоскостью его основания — это угол $\alpha$, который образующая $l$ составляет с радиусом $r$ в осевом сечении. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $h$, радиусом основания $r$ (катеты) и образующей $l$ (гипотенуза). В этом треугольнике искомый угол $\alpha$ является углом между катетом $r$ и гипотенузой $l$.

Косинус этого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:

$\cos(\alpha) = \frac{r}{l}$

Подставим в эту формулу найденное ранее соотношение $l = 2r$:

$\cos(\alpha) = \frac{r}{2r} = \frac{1}{2}$

Угол, косинус которого равен $\frac{1}{2}$, составляет $60^\circ$.

$\alpha = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ$

Ответ: $60^\circ$.

34. Площадь поверхности конуса равна $12 \text{ см}^2$. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту пополам. Найдите площадь поверхности отсеченного конуса.

35. Объемы равны $36\pi$. Найти площадь поверхности сферы

Пусть $S$ — площадь полной поверхности исходного конуса, $H$ — его высота, $R$ — радиус основания, а $L$ — длина образующей. По условию задачи, $S = 12 \text{ см}^2$.

Площадь полной поверхности конуса вычисляется по формуле: $S = S_{осн} + S_{бок} = \pi R^2 + \pi R L$.

Сечение, проведенное параллельно основанию, отсекает от исходного конуса меньший конус, который подобен исходному. Обозначим параметры отсеченного (меньшего) конуса как $S'$, $h$, $r$ и $l$ соответственно (площадь, высота, радиус и образующая).

По условию, секущая плоскость делит высоту исходного конуса пополам. Это означает, что высота отсеченного конуса $h$ равна половине высоты исходного конуса $H$:

$h = \frac{1}{2}H$

Так как отсеченный конус подобен исходному, отношение их соответственных линейных размеров (высот, радиусов, образующих) равно коэффициенту подобия $k$.

$k = \frac{h}{H} = \frac{r}{R} = \frac{l}{L}$

Используя соотношение высот, находим коэффициент подобия:

$k = \frac{\frac{1}{2}H}{H} = \frac{1}{2}$

Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. Это свойство справедливо и для площадей полной поверхности конусов:

$\frac{S'}{S} = k^2$

Подставим известные значения в эту формулу, чтобы найти площадь поверхности отсеченного конуса $S'$:

$\frac{S'}{12} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$

Отсюда выражаем $S'$:

$S' = 12 \cdot \frac{1}{4} = 3 \text{ см}^2$

Ответ: 3 см².

35. Объем шара равен $36\pi$. Найдите площадь его поверхности, деленную на $\pi$.

Для решения данной задачи необходимо использовать формулы объема шара и площади его поверхности.
Формула объема шара: $V = \frac{4}{3}\pi R^3$, где $R$ — радиус шара.
Формула площади поверхности шара: $S = 4\pi R^2$, где $R$ — радиус шара.

Сначала найдем радиус шара, используя данное значение объема $V = 36\pi$.
Приравняем формулу объема к данному значению:
$\frac{4}{3}\pi R^3 = 36\pi$
Чтобы найти $R^3$, разделим обе части уравнения на $\pi$ и умножим на $\frac{3}{4}$:
$R^3 = 36 \cdot \frac{3}{4}$
$R^3 = 27$
Теперь найдем радиус, извлекая кубический корень из 27:
$R = \sqrt[3]{27} = 3$

Теперь, зная радиус $R = 3$, мы можем вычислить площадь поверхности шара $S$:
$S = 4\pi R^2 = 4\pi \cdot 3^2 = 4\pi \cdot 9 = 36\pi$

По условию задачи требуется найти площадь поверхности, деленную на $\pi$. Выполним это деление:
$\frac{S}{\pi} = \frac{36\pi}{\pi} = 36$

Ответ: 36

36. Объем одного шара в 27 раз больше объема второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?

Пусть $V_1$ и $R_1$ — объем и радиус первого шара, а $V_2$ и $R_2$ — объем и радиус второго шара.

Формула объема шара: $V = \frac{4}{3}\pi R^3$.

Из условия задачи известно, что объем первого шара в 27 раз больше объема второго: $V_1 = 27 \cdot V_2$.

Запишем это соотношение, используя формулу объема: $\frac{4}{3}\pi R_1^3 = 27 \cdot \frac{4}{3}\pi R_2^3$.

Сократим обе части уравнения на общий множитель $\frac{4}{3}\pi$, чтобы найти соотношение между радиусами шаров: $R_1^3 = 27 R_2^3$.

Извлечем кубический корень из обеих частей уравнения: $\sqrt[3]{R_1^3} = \sqrt[3]{27 R_2^3}$ $R_1 = 3R_2$.

Таким образом, радиус первого шара в 3 раза больше радиуса второго.

Теперь необходимо найти отношение площадей поверхностей этих шаров. Формула площади поверхности шара: $S = 4\pi R^2$.

Пусть $S_1$ и $S_2$ — площади поверхностей первого и второго шаров соответственно. Найдем их отношение: $\frac{S_1}{S_2} = \frac{4\pi R_1^2}{4\pi R_2^2} = \frac{R_1^2}{R_2^2}$.

Мы уже знаем, что $R_1 = 3R_2$. Подставим это соотношение в формулу для отношения площадей: $\frac{S_1}{S_2} = \frac{(3R_2)^2}{R_2^2} = \frac{9R_2^2}{R_2^2} = 9$.

Следовательно, площадь поверхности первого шара в 9 раз больше площади поверхности второго.

Ответ: в 9 раз.

второго.

37. Радиусы двух шаров равны 6 см, 8 см. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей их поверхностей.

Пусть $r_1$ и $r_2$ — радиусы данных шаров, а $R$ — радиус искомого шара. Согласно условию задачи, $r_1 = 6$ см и $r_2 = 8$ см.

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле $S = 4\pi r^2$, где $r$ — это радиус шара.

По условию, площадь поверхности нового шара $S$ равна сумме площадей поверхностей двух данных шаров $S_1$ и $S_2$. Это можно записать в виде уравнения:
$S = S_1 + S_2$
$4\pi R^2 = 4\pi r_1^2 + 4\pi r_2^2$

Чтобы упростить уравнение, можно разделить обе его части на $4\pi$:
$R^2 = r_1^2 + r_2^2$

Теперь подставим известные значения радиусов $r_1$ и $r_2$ в полученное уравнение:
$R^2 = 6^2 + 8^2$
$R^2 = 36 + 64$
$R^2 = 100$

Чтобы найти радиус $R$, извлечем квадратный корень из 100. Так как радиус является положительной величиной, мы рассматриваем только арифметический корень:
$R = \sqrt{100} = 10$ см.

Ответ: 10 см.

38. Площадь осевого сечения цилиндра равна $1 \, \text{см}^2$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, одна сторона которого равна высоте цилиндра $h$, а другая — диаметру его основания $d = 2r$, где $r$ — радиус основания.

Площадь осевого сечения $S_{\text{сеч}}$ вычисляется по формуле: $S_{\text{сеч}} = d \cdot h = 2r \cdot h$

По условию задачи, площадь осевого сечения равна 1 см²: $2rh = 1 \text{ см}^2$

Площадь боковой поверхности цилиндра $S_{\text{бок}}$ вычисляется по формуле: $S_{\text{бок}} = 2\pi rh$

Мы можем выразить площадь боковой поверхности через площадь осевого сечения. Для этого в формуле площади боковой поверхности выделим произведение $2rh$: $S_{\text{бок}} = \pi \cdot (2rh)$

Теперь подставим известное значение $2rh = 1$: $S_{\text{бок}} = \pi \cdot 1 = \pi \text{ см}^2$

Ответ: $\pi \text{ см}^2$

основон поверхности цилиндра.

39. Около шара описан цилиндр, площадь поверхности которого равна $9\text{ см}^2$. Найдите площадь поверхности шара.

Пусть радиус шара равен $r$. Если цилиндр описан около шара, то радиус основания цилиндра равен радиусу шара $r$, а высота цилиндра $h$ равна диаметру шара, то есть $h = 2r$.

Площадь полной поверхности цилиндра ($S_{цил}$) состоит из площади двух оснований и площади боковой поверхности.

Площадь двух оснований цилиндра: $S_{осн} = 2 \cdot (\pi r^2) = 2\pi r^2$.

Площадь боковой поверхности цилиндра: $S_{бок} = 2\pi r h$. Подставив $h=2r$, получим: $S_{бок} = 2\pi r (2r) = 4\pi r^2$.

Таким образом, площадь полной поверхности цилиндра равна: $S_{цил} = S_{осн} + S_{бок} = 2\pi r^2 + 4\pi r^2 = 6\pi r^2$.

По условию задачи, $S_{цил} = 9$ см². Следовательно, мы имеем уравнение: $6\pi r^2 = 9$.

Нам нужно найти площадь поверхности шара ($S_{шара}$), которая вычисляется по формуле: $S_{шара} = 4\pi r^2$.

Можно выразить $S_{шара}$ через $S_{цил}$. Составим отношение площадей: $\frac{S_{шара}}{S_{цил}} = \frac{4\pi r^2}{6\pi r^2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Отсюда $S_{шара} = \frac{2}{3} S_{цил}$.

Подставим известное значение площади поверхности цилиндра: $S_{шара} = \frac{2}{3} \cdot 9 = 2 \cdot 3 = 6$ см².

Ответ: 6 см².

1. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения прямоугольного треугольника $ABC$ с катетами $AC = BC = 1 \text{ см}$ вокруг прямой $AC$.

При вращении прямоугольного треугольника $ABC$ вокруг одного из его катетов ($AC$) образуется тело вращения, которое является прямым круговым конусом. Высота этого конуса $h$ равна длине катета $AC$, а радиус его основания $r$ равен длине второго катета $BC$. Образующая конуса $l$ равна длине гипотенузы $AB$.

По условию задачи, $AC = 1$ см и $BC = 1$ см. Следовательно, для полученного конуса высота $h = 1$ см, а радиус основания $r = 1$ см.

Объем
Объем конуса вычисляется по формуле:$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$Подставим известные значения $r=1$ см и $h=1$ см:$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 1^2 \cdot 1 = \frac{\pi}{3}$ см³.
Ответ: $\frac{\pi}{3}$ см³.

Площадь поверхности
Площадь полной поверхности конуса состоит из площади основания ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$).$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$
Для нахождения площади боковой поверхности нам нужна длина образующей $l$. Найдем ее по теореме Пифагора, так как она является гипотенузой в треугольнике $ABC$:$l = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$ см.
Теперь рассчитаем площади:
1. Площадь основания (круга с радиусом $r=1$ см):$S_{осн} = \pi r^2 = \pi \cdot 1^2 = \pi$ см².
2. Площадь боковой поверхности:$S_{бок} = \pi r l = \pi \cdot 1 \cdot \sqrt{2} = \pi\sqrt{2}$ см².
3. Площадь полной поверхности:$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \pi + \pi\sqrt{2} = \pi(1 + \sqrt{2})$ см².
Ответ: $\pi(1 + \sqrt{2})$ см².

2. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения прямоугольного треугольника $ABC$ с катетами $AC = BC = 1$ см вокруг прямой, содержащей высоту $CH$ этого треугольника.

Объем тела вращения
Исходные данные: прямоугольный треугольник $ABC$ с катетами $AC = BC = 1$ см. Так как катеты равны, треугольник является равнобедренным, с прямым углом при вершине $C$. Осью вращения служит прямая, содержащая высоту $CH$, проведенную к гипотенузе $AB$.
Тело, полученное при вращении треугольника $ABC$ вокруг высоты $CH$, представляет собой два одинаковых конуса с общим основанием. Вершина обоих конусов находится в точке $C$, а их общее основание — это круг, который описывают точки $A$ и $B$ при вращении вокруг оси $CH$.
Для нахождения объема этого тела необходимо определить параметры конусов: высоту $h$ и радиус основания $r$.
1. Найдем длину гипотенузы $AB$ по теореме Пифагора:
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ см.
2. В равнобедренном треугольнике высота $CH$, проведенная к основанию, является также и медианой. Следовательно, точка $H$ — середина гипотенузы $AB$. Радиус основания $r$ каждого конуса равен половине длины гипотенузы:
$r = AH = HB = \frac{AB}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.
3. Высота $h$ каждого конуса равна длине высоты $CH$. Найдем ее из прямоугольного треугольника $ACH$:
$h = CH = \sqrt{AC^2 - AH^2} = \sqrt{1^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{2}{4}} = \sqrt{1 - \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.
4. Объем одного конуса вычисляется по формуле $V_{конуса} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$. Подставим найденные значения $r$ и $h$:
$V_{конуса} = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi\sqrt{2}}{12}$ см³.
5. Общий объем тела вращения $V$ равен сумме объемов двух одинаковых конусов:
$V = 2 \cdot V_{конуса} = 2 \cdot \frac{\pi\sqrt{2}}{12} = \frac{\pi\sqrt{2}}{6}$ см³.
Ответ: $\frac{\pi\sqrt{2}}{6}$ см³.

Площадь поверхности тела вращения
Площадь поверхности полученного тела вращения состоит из площадей боковых поверхностей двух конусов. Их общее основание находится внутри тела, поэтому его площадь в расчете не участвует.
Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi r l$, где $r$ — радиус основания, а $l$ — длина образующей.
1. Радиус основания конусов нам уже известен: $r = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.
2. Образующей $l$ для каждого конуса является соответствующий катет исходного треугольника: $l = AC = BC = 1$ см.
3. Вычислим площадь боковой поверхности одного конуса:
$S_{бок} = \pi \cdot r \cdot l = \pi \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 = \frac{\pi\sqrt{2}}{2}$ см².
4. Полная площадь поверхности тела $S$ равна сумме площадей боковых поверхностей двух конусов:
$S = 2 \cdot S_{бок} = 2 \cdot \frac{\pi\sqrt{2}}{2} = \pi\sqrt{2}$ см².
Ответ: $\pi\sqrt{2}$ см².

3. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения равностороннего треугольника ABC со сторонами, равными 1 см, вокруг прямой СН, содержащей высоту этого треугольника.

Объем

Тело вращения, которое образуется при вращении равностороннего треугольника ABC вокруг своей высоты CH, представляет собой конус. Сторона треугольника $a = 1$ см является образующей конуса ($l=1$ см). Радиус основания конуса $r$ равен половине стороны треугольника: $r = a/2 = 1/2$ см. Высота конуса $h$ совпадает с высотой треугольника CH.

Найдем высоту конуса $h$ с помощью теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника AHC (где AC - гипотенуза, AH и CH - катеты):$h = \sqrt{AC^2 - AH^2} = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{1^2 - (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Объем конуса рассчитывается по формуле $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$. Подставив значения, получаем:$V = \frac{1}{3}\pi \cdot (\frac{1}{2})^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi\sqrt{3}}{24}$ см³.

Ответ: $V = \frac{\pi\sqrt{3}}{24}$ см³.

Площадь поверхности

Площадь полной поверхности конуса складывается из площади его основания ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$).$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$.

Площадь основания, которое является кругом с радиусом $r = 1/2$ см, равна:$S_{осн} = \pi r^2 = \pi \cdot (\frac{1}{2})^2 = \frac{\pi}{4}$ см².

Площадь боковой поверхности рассчитывается по формуле $S_{бок} = \pi r l$, где $r = 1/2$ см и $l=1$ см:$S_{бок} = \pi \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{\pi}{2}$ см².

Следовательно, площадь полной поверхности конуса равна:$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$ см².

Ответ: $S_{полн} = \frac{3\pi}{4}$ см².