Номер 29, страница 108 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

29. Найдите площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, стороны основания которой равны 6 см и высота равна 4 см.

Площадь полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды ($S_{полн}$) вычисляется как сумма площади ее основания ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$): $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$.

1. Вычисление площади основания

В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат. Сторона основания по условию равна $a = 6$ см. Площадь квадрата вычисляется по формуле $S = a^2$.$S_{осн} = 6^2 = 36$ см$^2$.

2. Вычисление площади боковой поверхности

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ представляет собой сумму площадей четырех одинаковых боковых граней, которые являются равнобедренными треугольниками. Эту площадь можно найти по формуле $S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot h_a$, где $P$ — периметр основания, а $h_a$ — апофема (высота боковой грани).

Периметр основания (квадрата) равен:$P = 4 \cdot a = 4 \cdot 6 = 24$ см.

Апофему $h_a$ найдем из прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды $H$, апофемой $h_a$ (гипотенуза) и отрезком, соединяющим центр основания с серединой его стороны (катет, равный половине стороны основания $\frac{a}{2}$).Нам дано: высота $H = 4$ см, сторона основания $a = 6$ см, следовательно, половина стороны основания $\frac{a}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Применим теорему Пифагора:$h_a^2 = H^2 + (\frac{a}{2})^2$$h_a^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$$h_a = \sqrt{25} = 5$ см.

Теперь вычислим площадь боковой поверхности:$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot P \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 5 = 12 \cdot 5 = 60$ см$^2$.

3. Вычисление полной площади поверхности

Сложим найденные площади основания и боковой поверхности:$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 36 + 60 = 96$ см$^2$.

Ответ: 96 см$^2$.