Номер 22, страница 107 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

22. В основании прямой призмы лежит ромб с диагоналями, равными 6 см и 8 см. Площадь ее поверхности равна $248 \text{ см}^2$. Найдите боковое ребро этой призмы.

Площадь полной поверхности прямой призмы $S_{полн}$ складывается из площади боковой поверхности $S_{бок}$ и двух площадей основания $S_{осн}$:
$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$

Основанием призмы является ромб. Площадь ромба можно вычислить по формуле через его диагонали $d_1$ и $d_2$:
$S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2$
Подставим данные из условия задачи: $d_1 = 6$ см и $d_2 = 8$ см.
$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$ см².

Теперь найдем площадь боковой поверхности, зная, что площадь полной поверхности $S_{полн} = 248$ см²:
$S_{бок} = S_{полн} - 2 \cdot S_{осн} = 248 - 2 \cdot 24 = 248 - 48 = 200$ см².

Площадь боковой поверхности прямой призмы также равна произведению периметра ее основания $P_{осн}$ на высоту $h$. В прямой призме высота равна боковому ребру.
$S_{бок} = P_{осн} \cdot h$
Чтобы найти боковое ребро $h$, нам нужно найти периметр ромба. Для этого сначала найдем длину его стороны $a$. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. Они образуют четыре одинаковых прямоугольных треугольника, у которых катеты равны половинам диагоналей ($\frac{6}{2}=3$ см и $\frac{8}{2}=4$ см), а гипотенуза является стороной ромба $a$.
По теореме Пифагора:
$a^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$
$a = \sqrt{25} = 5$ см.

Периметр ромба равен:
$P_{осн} = 4a = 4 \cdot 5 = 20$ см.

Теперь мы можем найти боковое ребро (высоту) призмы $h$:
$h = \frac{S_{бок}}{P_{осн}} = \frac{200}{20} = 10$ см.

Ответ: 10 см.