Номер 21, страница 107 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

21. Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 3 см и 4 см, и боковым ребром, равным 5 см.

Площадь полной поверхности призмы ($S_{полн}$) складывается из площади двух оснований ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$). Формула имеет вид:

$S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок}$

1. Найдем площадь основания.

В основании призмы лежит ромб, площадь которого можно найти по формуле через его диагонали $d_1$ и $d_2$:

$S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2$

По условию, диагонали ромба равны $d_1 = 3$ см и $d_2 = 4$ см. Подставим эти значения в формулу:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = \frac{12}{2} = 6$ см$^2$.

2. Найдем площадь боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности прямой призмы ($S_{бок}$) вычисляется как произведение периметра основания ($P_{осн}$) на высоту призмы ($h$), которая равна длине бокового ребра.

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h$

Сначала найдем сторону ромба ($a$), чтобы вычислить его периметр. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Они образуют четыре одинаковых прямоугольных треугольника, где катеты — это половины диагоналей, а гипотенуза — сторона ромба. По теореме Пифагора:

$a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2$

$a^2 = (\frac{3}{2})^2 + (\frac{4}{2})^2 = (1.5)^2 + 2^2 = 2.25 + 4 = 6.25$

$a = \sqrt{6.25} = 2.5$ см.

Теперь найдем периметр ромба:

$P_{осн} = 4a = 4 \cdot 2.5 = 10$ см.

Боковое ребро (высота) призмы по условию равно $h = 5$ см. Вычислим площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = 10 \cdot 5 = 50$ см$^2$.

3. Найдем площадь полной поверхности призмы.

Теперь, зная площади основания и боковой поверхности, мы можем найти общую площадь поверхности призмы:

$S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 6 + 50 = 12 + 50 = 62$ см$^2$.

Ответ: $62$ см$^2$.