Номер 27, страница 107 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

27. Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы равна $8 \text{ см}^2$. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы.

Пусть дана исходная треугольная призма. Обозначим стороны ее основания (треугольника) как $a$, $b$ и $c$. Длину бокового ребра обозначим как $l$. Боковые грани призмы являются параллелограммами.

Площадь боковой поверхности призмы, $S_{исх}$, равна сумме площадей ее боковых граней. Обозначим эти площади как $S_a$, $S_b$ и $S_c$, где каждая площадь соответствует грани, построенной на стороне основания $a$, $b$ или $c$ соответственно. Таким образом, $S_{исх} = S_a + S_b + S_c$.

Согласно условию, через среднюю линию основания проведена секущая плоскость, параллельная боковому ребру. Эта плоскость отсекает от исходной призмы меньшую треугольную призму.

Рассмотрим основания призм. Пусть исходное основание — треугольник со сторонами $a, b, c$. Средняя линия соединяет середины двух сторон, например, тех, что имеют длины $a$ и $b$. По свойству средней линии, ее длина равна половине третьей стороны, то есть $\frac{c}{2}$. Таким образом, основанием отсеченной призмы является треугольник со сторонами $\frac{a}{2}$, $\frac{b}{2}$ и $\frac{c}{2}$.

Боковое ребро отсеченной призмы имеет ту же длину $l$, что и у исходной призмы, так как секущая плоскость параллельна боковому ребру.

Площадь боковой поверхности отсеченной призмы, $S_{отс}$, также равна сумме площадей ее трех боковых граней. Каждая из этих граней является параллелограммом. Сравним площади боковых граней отсеченной и исходной призм:
- Боковая грань отсеченной призмы, построенная на стороне $\frac{a}{2}$, имеет основание в два раза меньше, чем соответствующая грань исходной призмы (построенная на стороне $a$), а высота у этих параллелограммов (проведенная к основаниям) одинакова, так как боковые ребра параллельны. Следовательно, ее площадь равна $\frac{S_a}{2}$.
- Аналогично, площади двух других боковых граней отсеченной призмы равны $\frac{S_b}{2}$ и $\frac{S_c}{2}$.

Таким образом, площадь боковой поверхности отсеченной призмы составляет:
$S_{отс} = \frac{S_a}{2} + \frac{S_b}{2} + \frac{S_c}{2} = \frac{1}{2}(S_a + S_b + S_c) = \frac{1}{2}S_{исх}$

Мы получили соотношение между площадями боковых поверхностей исходной и отсеченной призм: $S_{отс} = \frac{1}{2}S_{исх}$.

По условию задачи, площадь боковой поверхности отсеченной призмы равна 8 см²:
$S_{отс} = 8 \text{ см}^2$.

Подставляем это значение в нашу формулу:
$8 = \frac{1}{2}S_{исх}$

Отсюда находим искомую площадь боковой поверхности исходной призмы:
$S_{исх} = 2 \cdot 8 = 16 \text{ см}^2$.

Ответ: 16 см².