Номер 31, страница 108 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

поверхности этой пирамиды.

31. Во сколько раз увеличится площадь поверхности октаэдра, если все его ребра увеличить в три раза?

Для решения этой задачи можно использовать принцип подобия геометрических тел. Площадь поверхности любого тела пропорциональна квадрату его линейных размеров.

Пусть $S_1$ — начальная площадь поверхности октаэдра, а $a$ — начальная длина его ребра. Площадь поверхности октаэдра можно выразить через длину его ребра. Так как октаэдр состоит из 8 одинаковых равносторонних треугольников, его площадь поверхности равна $S = 8 \times (\text{площадь одного треугольника})$. Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ равна $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Таким образом, начальная площадь поверхности октаэдра:

$S_1 = 8 \times \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = 2\sqrt{3}a^2$

Согласно условию, все ребра октаэдра увеличили в 3 раза. Новая длина ребра стала $a' = 3a$.

Найдем новую площадь поверхности $S_2$, подставив в формулу новую длину ребра $a'$:

$S_2 = 2\sqrt{3}(a')^2 = 2\sqrt{3}(3a)^2 = 2\sqrt{3}(9a^2) = 9 \times (2\sqrt{3}a^2)$

Поскольку $S_1 = 2\sqrt{3}a^2$, мы можем записать:

$S_2 = 9 \times S_1$

Теперь найдем, во сколько раз увеличилась площадь поверхности, разделив новую площадь на начальную:

$\frac{S_2}{S_1} = \frac{9 \times S_1}{S_1} = 9$

Таким образом, площадь поверхности октаэдра увеличится в 9 раз.

Общий подход: При увеличении всех линейных размеров тела (длин, высот, ребер) в $k$ раз, его площадь поверхности увеличивается в $k^2$ раз, а объем — в $k^3$ раз. В нашей задаче линейные размеры (ребра) увеличились в $k=3$ раза. Следовательно, площадь поверхности увеличится в $k^2 = 3^2 = 9$ раз.

Ответ: в 9 раз.