Номер 30, страница 108 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

30. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 6 см, боковые ребра равны 5 см. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Дана правильная шестиугольная пирамида. Это означает, что в ее основании лежит правильный шестиугольник, а все боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками. Площадь боковой поверхности такой пирамиды ($S_{бок}$) равна сумме площадей всех ее боковых граней. Так как граней шесть и они все одинаковы, то площадь боковой поверхности можно найти, умножив площадь одной грани на 6.
$S_{бок} = 6 \cdot S_{грани}$
Рассмотрим одну боковую грань. Это равнобедренный треугольник, у которого основание — это сторона основания пирамиды ($a = 6$ см), а боковые стороны — это боковые ребра пирамиды ($l = 5$ см).
Для нахождения площади этого треугольника нам нужна его высота, проведенная к основанию. Эта высота в правильной пирамиде называется апофемой ($h_s$). В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой, поэтому она делит основание пополам.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром (гипотенуза), апофемой (катет) и половиной стороны основания (второй катет).
Гипотенуза $l = 5$ см.
Один катет равен $\frac{a}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.
Второй катет — это апофема $h_s$.
По теореме Пифагора найдем апофему:
$l^2 = (\frac{a}{2})^2 + h_s^2$
$5^2 = 3^2 + h_s^2$
$25 = 9 + h_s^2$
$h_s^2 = 25 - 9 = 16$
$h_s = \sqrt{16} = 4$ см.
Теперь можем найти площадь одной боковой грани (треугольника):
$S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_s$
$S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$ см².
Наконец, находим площадь всей боковой поверхности пирамиды:
$S_{бок} = 6 \cdot S_{грани} = 6 \cdot 12 = 72$ см².
Ответ: 72 см².