Номер 24, страница 107 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

24. В треугольной призме две боковые грани перпендикулярны. Их общее ребро равно 10 см и отстоит от других боковых ребер на 6 см и 8 см. Найдите площадь боковой поверхности этой призмы.

Площадь боковой поверхности призмы вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{\perp} \cdot L$, где $L$ — длина бокового ребра, а $P_{\perp}$ — периметр сечения, перпендикулярного боковым ребрам.

Из условия задачи известно, что длина общего бокового ребра двух перпендикулярных граней равна 10 см. Следовательно, длина бокового ребра призмы $L = 10$ см.

Рассмотрим сечение призмы плоскостью, перпендикулярной ее боковым ребрам. В сечении образуется треугольник. Так как две боковые грани призмы по условию перпендикулярны, то угол в перпендикулярном сечении, соответствующий двугранному углу между этими гранями, является прямым. Это означает, что наше сечение — это прямоугольный треугольник.

Стороны этого треугольника-сечения равны расстояниям между боковыми ребрами. По условию, общее ребро отстоит от двух других боковых ребер на 6 см и 8 см. Эти расстояния являются катетами нашего прямоугольного треугольника в сечении. Обозначим их как $a = 6$ см и $b = 8$ см.

Для нахождения периметра сечения ($P_{\perp}$) необходимо найти длину третьей стороны — гипотенузы $c$. Применим теорему Пифагора:

$c^2 = a^2 + b^2$

$c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$

$c = \sqrt{100} = 10$ см.

Теперь вычислим периметр перпендикулярного сечения:

$P_{\perp} = a + b + c = 6 + 8 + 10 = 24$ см.

Зная периметр сечения и длину бокового ребра, находим площадь боковой поверхности призмы:

$S_{бок} = P_{\perp} \cdot L = 24 \text{ см} \cdot 10 \text{ см} = 240 \text{ см}^2$.

Ответ: $240 \text{ см}^2$.