Номер 26, страница 107 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

26. Через среднюю линию основания треугольной призмы, площадь боковой поверхности которой равна $12 \text{ см}^2$, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы.

Пусть дана произвольная треугольная призма, площадь боковой поверхности которой равна $S_{бок} = 12 \text{ см}^2$. Боковая поверхность состоит из трех граней-параллелограммов, основаниями которых служат стороны треугольника в основании призмы. Обозначим стороны основания как $a, b, c$, а длину бокового ребра как $l$. Площадь боковой поверхности является суммой площадей этих трех граней: $S_{бок} = S_a + S_b + S_c$.

В основании призмы через среднюю линию проводится секущая плоскость, параллельная боковому ребру. Пусть средняя линия соединяет середины сторон $a$ и $b$. По свойству средней линии, ее длина равна $c/2$, и она параллельна стороне $c$.

Эта плоскость отсекает от исходной призмы новую, меньшую треугольную призму. Рассмотрим ее характеристики:

1. Основанием новой призмы является треугольник, сторонами которого являются половины сторон $a$ и $b$ исходного треугольника и средняя линия. То есть, стороны нового основания равны $a/2$, $b/2$ и $c/2$.

2. Боковые ребра новой призмы совпадают с частью боковых ребер старой призмы или параллельны им, и их длина остается той же, равной $l$.

Площадь боковой поверхности отсеченной призмы, $S'_{бок}$, также состоит из суммы площадей трех ее боковых граней. Каждая из этих граней является параллелограммом.

- Первая грань имеет основание $a/2$ и боковое ребро $l$. Она является половиной боковой грани исходной призмы со стороной $a$. Ее площадь равна $S_a/2$.- Вторая грань имеет основание $b/2$ и боковое ребро $l$. Она является половиной боковой грани исходной призмы со стороной $b$. Ее площадь равна $S_b/2$.- Третья грань (сама секущая плоскость) имеет основание $c/2$ (средняя линия) и боковое ребро $l$. Поскольку средняя линия параллельна стороне $c$, эта грань будет иметь площадь, равную половине площади исходной грани со стороной $c$. Ее площадь равна $S_c/2$.

Таким образом, площадь боковой поверхности отсеченной призмы равна:$S'_{бок} = \frac{S_a}{2} + \frac{S_b}{2} + \frac{S_c}{2} = \frac{1}{2}(S_a + S_b + S_c)$

Так как $S_a + S_b + S_c = S_{бок} = 12 \text{ см}^2$, получаем:$S'_{бок} = \frac{1}{2} \cdot S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6 \text{ см}^2$.

Ответ: 6 см$^2$.