Страница 107 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

13. Диагональ куба равна 1 см. Найдите площадь его поверхности.

Пусть ребро куба равно $a$, а его диагональ — $d$. По условию, $d = 1$ см.

Квадрат диагонали куба равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины и высоты). Так как у куба все ребра равны $a$, то формула для диагонали выглядит следующим образом:$d^2 = a^2 + a^2 + a^2 = 3a^2$.

Отсюда можно выразить длину ребра $a$ через диагональ $d$:$d = a\sqrt{3}$.

Подставим в эту формулу известное значение диагонали $d=1$ см, чтобы найти длину ребра $a$:$1 = a\sqrt{3}$$a = \frac{1}{\sqrt{3}}$ см.

Площадь поверхности куба $S_{пов}$ состоит из площадей шести одинаковых граней, каждая из которых является квадратом со стороной $a$. Площадь одной грани равна $S_{грани} = a^2$.

Следовательно, площадь всей поверхности куба вычисляется по формуле:$S_{пов} = 6 \cdot S_{грани} = 6a^2$.

Теперь подставим найденное значение $a^2$ в эту формулу. Сначала найдем $a^2$:$a^2 = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{1}{3}$ см².

Теперь вычислим площадь поверхности:$S_{пов} = 6 \cdot \frac{1}{3} = 2$ см².

Ответ: 2 см².

14. Площадь поверхности куба равна $8 \text{ см}^2$. Найдите его диагональ.

15. Площадь поверхности куба равна $24 \text{ см}^2$. Найдите его объем.

14. Пусть $a$ – длина ребра куба. Площадь поверхности куба $S$ вычисляется как сумма площадей шести его граней. Каждая грань является квадратом со стороной $a$, поэтому площадь одной грани равна $a^2$.

Формула для площади поверхности куба:

$S = 6a^2$

По условию задачи, $S = 8 \text{ см}^2$. Подставим это значение в формулу и найдем $a^2$:

$8 = 6a^2$

$a^2 = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

Диагональ куба $d$ можно найти по формуле, которая является следствием теоремы Пифагора в трехмерном пространстве:

$d^2 = a^2 + a^2 + a^2 = 3a^2$

Теперь подставим найденное значение $a^2 = \frac{4}{3}$ в эту формулу:

$d^2 = 3 \cdot \left(\frac{4}{3}\right) = 4$

Чтобы найти длину диагонали $d$, извлечем квадратный корень:

$d = \sqrt{4} = 2$

Таким образом, диагональ куба равна 2 см.

Ответ: 2 см.

15. Площадь поверхности куба равна $24 \text{ см}^2$. Найдите его объем.

Площадь полной поверхности куба ($S$) вычисляется по формуле $S = 6a^2$, где $a$ — длина ребра куба. Это связано с тем, что поверхность куба состоит из шести одинаковых квадратных граней, площадь каждой из которых равна $a^2$.
Согласно условию задачи, площадь поверхности куба равна 24 см². Подставим это значение в формулу, чтобы найти длину ребра $a$.
$6a^2 = 24$
Сначала найдем площадь одной грани ($a^2$), разделив общую площадь поверхности на количество граней (6):
$a^2 = \frac{24}{6} = 4$ см²
Теперь можно найти длину ребра $a$, извлекая квадратный корень из площади грани:
$a = \sqrt{4} = 2$ см
Зная длину ребра, мы можем вычислить объем куба ($V$) по формуле $V = a^3$.
$V = 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ см³
Ответ: 8 см³.

16. Объем куба равен $27 \text{ см}^3$. Найдите площадь его поверхности.

16. Пусть $a$ – это длина ребра куба.
Объем куба ($V$) вычисляется по формуле $V = a^3$. Согласно условию задачи, объем равен 27 см³.
Найдем длину ребра куба:
$a^3 = 27$
$a = \sqrt[3]{27}$
$a = 3$ см.
Площадь поверхности куба ($S$) состоит из шести одинаковых квадратных граней. Площадь одной такой грани равна $a^2$.
Следовательно, формула для вычисления площади всей поверхности куба: $S = 6a^2$.
Теперь подставим найденное значение длины ребра $a = 3$ см в эту формулу:
$S = 6 \cdot (3)^2 = 6 \cdot 9 = 54$ см².
Ответ: 54 см².

17. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2 см, 4 см. Диагональ параллелепипеда равна 6 см. Найдите площадь поверхности параллелепипеда.

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда (длина, ширина, высота) равны $a$, $b$ и $c$. Из условия задачи нам известно, что два ребра, выходящие из одной вершины, равны 2 см и 4 см. Пусть $a = 2$ см и $b = 4$ см. Диагональ параллелепипеда $d = 6$ см.

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений. Используем эту теорему, чтобы найти третье измерение $c$. Формула выглядит так:
$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$

Подставим известные значения в формулу:
$6^2 = 2^2 + 4^2 + c^2$
$36 = 4 + 16 + c^2$
$36 = 20 + c^2$
$c^2 = 36 - 20$
$c^2 = 16$
$c = \sqrt{16} = 4$ см.

Теперь, когда мы знаем все три измерения параллелепипеда ($a=2$ см, $b=4$ см, $c=4$ см), мы можем найти площадь его полной поверхности $S$. Площадь поверхности вычисляется как удвоенная сумма площадей трех граней с общими вершинами:
$S = 2(ab + ac + bc)$

Подставим значения $a$, $b$ и $c$ в формулу:
$S = 2(2 \cdot 4 + 2 \cdot 4 + 4 \cdot 4)$
$S = 2(8 + 8 + 16)$
$S = 2(32)$
$S = 64$ см$^2$.

Ответ: 64 см$^2$.

18. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны $1 \text{ см}$, $2 \text{ см}$. Площадь поверхности параллелепипеда равна $16 \text{ см}^2$. Найдите его диагональ.

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда (длина, ширина, высота) равны $a$, $b$ и $c$.Из условия задачи нам дано, что два ребра, выходящие из одной вершины, равны 1 см и 2 см. Примем $a = 1$ см и $b = 2$ см. Третье ребро $c$ нам неизвестно.Также дана площадь полной поверхности параллелепипеда $S = 16$ см².

Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:$S = 2(ab + bc + ac)$

Подставим известные значения в эту формулу, чтобы найти неизвестное ребро $c$:
$16 = 2(1 \cdot 2 + 2 \cdot c + 1 \cdot c)$
$16 = 2(2 + 3c)$
Разделим обе части уравнения на 2:
$8 = 2 + 3c$
Вычтем 2 из обеих частей:
$6 = 3c$
Отсюда находим $c$:
$c = \frac{6}{3} = 2$ см.

Теперь мы знаем все три измерения параллелепипеда: $a = 1$ см, $b = 2$ см и $c = 2$ см.

Диагональ прямоугольного параллелепипеда $d$ связана с его измерениями следующей формулой (теорема Пифагора в пространстве):$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$

Подставим найденные значения измерений в формулу для диагонали:
$d^2 = 1^2 + 2^2 + 2^2$
$d^2 = 1 + 4 + 4$
$d^2 = 9$
Извлекая квадратный корень, находим длину диагонали:
$d = \sqrt{9} = 3$ см.

Ответ: 3 см.

19. Если каждое ребро куба увеличить на 1 см, то его площадь поверхности увеличится на $30 \, \text{см}^2$. Найдите ребро куба.

Пусть первоначальная длина ребра куба равна $a$ см. Площадь поверхности куба состоит из площадей шести его граней, каждая из которых является квадратом со стороной $a$. Следовательно, первоначальная площадь поверхности куба ($S_1$) вычисляется по формуле: $S_1 = 6a^2$.

По условию, каждое ребро куба увеличили на 1 см, значит, новая длина ребра стала $(a + 1)$ см. Новая площадь поверхности куба ($S_2$) будет равна: $S_2 = 6(a + 1)^2$.

Известно, что площадь поверхности увеличилась на 30 см². Это означает, что разница между новой и старой площадями равна 30. Составим уравнение:

$S_2 - S_1 = 30$

Подставим в него выражения для $S_1$ и $S_2$:

$6(a + 1)^2 - 6a^2 = 30$

Для упрощения разделим обе части уравнения на 6:

$(a + 1)^2 - a^2 = 5$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$(a^2 + 2a + 1) - a^2 = 5$

Приведем подобные слагаемые:

$2a + 1 = 5$

Теперь решим полученное линейное уравнение:

$2a = 5 - 1$

$2a = 4$

$a = \frac{4}{2}$

$a = 2$

Таким образом, первоначальное ребро куба равно 2 см.

Выполним проверку.

Первоначальная площадь поверхности при ребре 2 см: $S_1 = 6 \cdot 2^2 = 6 \cdot 4 = 24$ см².

Новое ребро: $2 + 1 = 3$ см.

Новая площадь поверхности: $S_2 = 6 \cdot 3^2 = 6 \cdot 9 = 54$ см².

Увеличение площади: $S_2 - S_1 = 54 - 24 = 30$ см².

Результат проверки соответствует условию задачи.

Ответ: 2 см.

20. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1 см, 2 см. Объем параллелепипеда равен $6 \text{ см}^3$. Найдите площадь его поверхности.

Обозначим три измерения прямоугольного параллелепипеда (длину, ширину и высоту) как $a$, $b$ и $c$. Согласно условию, два ребра, выходящие из одной вершины, равны 1 см и 2 см. Пусть $a = 1$ см и $b = 2$ см.

Объем прямоугольного параллелепипеда ($V$) вычисляется как произведение трех его измерений:

$V = a \cdot b \cdot c$

Нам известно, что объем равен 6 см³. Подставим известные значения в формулу, чтобы найти третье ребро $c$:

$6 \text{ см}^3 = 1 \text{ см} \cdot 2 \text{ см} \cdot c$

$6 = 2 \cdot c$

Отсюда находим $c$:

$c = \frac{6}{2} = 3$ см

Теперь у нас есть все три измерения параллелепипеда: $a=1$ см, $b=2$ см, $c=3$ см.

Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда ($S$) вычисляется по формуле, которая представляет собой сумму площадей всех шести граней:

$S = 2(ab + ac + bc)$

Подставим значения $a$, $b$ и $c$ в эту формулу:

$S = 2(1 \cdot 2 + 1 \cdot 3 + 2 \cdot 3)$

Выполним вычисления в скобках:

$S = 2(2 + 3 + 6)$

$S = 2(11)$

$S = 22$ см²

Ответ: 22 см².

21. Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 3 см и 4 см, и боковым ребром, равным 5 см.

Площадь полной поверхности призмы ($S_{полн}$) складывается из площади двух оснований ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$). Формула имеет вид:

$S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок}$

1. Найдем площадь основания.

В основании призмы лежит ромб, площадь которого можно найти по формуле через его диагонали $d_1$ и $d_2$:

$S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2$

По условию, диагонали ромба равны $d_1 = 3$ см и $d_2 = 4$ см. Подставим эти значения в формулу:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = \frac{12}{2} = 6$ см$^2$.

2. Найдем площадь боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности прямой призмы ($S_{бок}$) вычисляется как произведение периметра основания ($P_{осн}$) на высоту призмы ($h$), которая равна длине бокового ребра.

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h$

Сначала найдем сторону ромба ($a$), чтобы вычислить его периметр. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Они образуют четыре одинаковых прямоугольных треугольника, где катеты — это половины диагоналей, а гипотенуза — сторона ромба. По теореме Пифагора:

$a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2$

$a^2 = (\frac{3}{2})^2 + (\frac{4}{2})^2 = (1.5)^2 + 2^2 = 2.25 + 4 = 6.25$

$a = \sqrt{6.25} = 2.5$ см.

Теперь найдем периметр ромба:

$P_{осн} = 4a = 4 \cdot 2.5 = 10$ см.

Боковое ребро (высота) призмы по условию равно $h = 5$ см. Вычислим площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = 10 \cdot 5 = 50$ см$^2$.

3. Найдем площадь полной поверхности призмы.

Теперь, зная площади основания и боковой поверхности, мы можем найти общую площадь поверхности призмы:

$S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 6 + 50 = 12 + 50 = 62$ см$^2$.

Ответ: $62$ см$^2$.

22. В основании прямой призмы лежит ромб с диагоналями, равными 6 см и 8 см. Площадь ее поверхности равна $248 \text{ см}^2$. Найдите боковое ребро этой призмы.

Площадь полной поверхности прямой призмы $S_{полн}$ складывается из площади боковой поверхности $S_{бок}$ и двух площадей основания $S_{осн}$:
$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$

Основанием призмы является ромб. Площадь ромба можно вычислить по формуле через его диагонали $d_1$ и $d_2$:
$S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2$
Подставим данные из условия задачи: $d_1 = 6$ см и $d_2 = 8$ см.
$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$ см².

Теперь найдем площадь боковой поверхности, зная, что площадь полной поверхности $S_{полн} = 248$ см²:
$S_{бок} = S_{полн} - 2 \cdot S_{осн} = 248 - 2 \cdot 24 = 248 - 48 = 200$ см².

Площадь боковой поверхности прямой призмы также равна произведению периметра ее основания $P_{осн}$ на высоту $h$. В прямой призме высота равна боковому ребру.
$S_{бок} = P_{осн} \cdot h$
Чтобы найти боковое ребро $h$, нам нужно найти периметр ромба. Для этого сначала найдем длину его стороны $a$. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. Они образуют четыре одинаковых прямоугольных треугольника, у которых катеты равны половинам диагоналей ($\frac{6}{2}=3$ см и $\frac{8}{2}=4$ см), а гипотенуза является стороной ромба $a$.
По теореме Пифагора:
$a^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$
$a = \sqrt{25} = 5$ см.

Периметр ромба равен:
$P_{осн} = 4a = 4 \cdot 5 = 20$ см.

Теперь мы можем найти боковое ребро (высоту) призмы $h$:
$h = \frac{S_{бок}}{P_{осн}} = \frac{200}{20} = 10$ см.

Ответ: 10 см.

23. Найдите боковое ребро правильной четырехугольной призмы, если стороны ее основания равны 3 см, а площадь поверхности равна $66$ см$^2$.

Правильная четырехугольная призма — это прямая призма, в основании которой лежит правильный четырехугольник, то есть квадрат. Боковое ребро такой призмы равно ее высоте. Обозначим сторону основания как $a$, а боковое ребро как $h$.

Площадь полной поверхности призмы ($S_{полн}$) вычисляется по формуле:

$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$

где $S_{бок}$ — площадь боковой поверхности, а $S_{осн}$ — площадь одного основания.

По условию задачи дано: $a = 3$ см, $S_{полн} = 66$ см².

Решим задачу по шагам.

1. Найдем площадь основания призмы ($S_{осн}$).

Основанием является квадрат со стороной $a = 3$ см. Его площадь равна:

$S_{осн} = a^2 = 3^2 = 9$ см².

2. Найдем площадь боковой поверхности призмы ($S_{бок}$).

Из формулы для площади полной поверхности выразим площадь боковой поверхности. Для этого из площади полной поверхности вычтем площади двух оснований:

$S_{бок} = S_{полн} - 2 \cdot S_{осн}$

Подставим известные значения:

$S_{бок} = 66 - 2 \cdot 9 = 66 - 18 = 48$ см².

3. Найдем боковое ребро призмы ($h$).

Площадь боковой поверхности прямой призмы также можно найти по формуле:

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h$

где $P_{осн}$ — периметр основания. Сначала вычислим периметр основания (квадрата):

$P_{осн} = 4a = 4 \cdot 3 = 12$ см.

Теперь выразим боковое ребро $h$ из формулы площади боковой поверхности:

$h = \frac{S_{бок}}{P_{осн}}$

Подставим вычисленные значения:

$h = \frac{48}{12} = 4$ см.

Ответ: 4 см.

24. В треугольной призме две боковые грани перпендикулярны. Их общее ребро равно 10 см и отстоит от других боковых ребер на 6 см и 8 см. Найдите площадь боковой поверхности этой призмы.

Площадь боковой поверхности призмы вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{\perp} \cdot L$, где $L$ — длина бокового ребра, а $P_{\perp}$ — периметр сечения, перпендикулярного боковым ребрам.

Из условия задачи известно, что длина общего бокового ребра двух перпендикулярных граней равна 10 см. Следовательно, длина бокового ребра призмы $L = 10$ см.

Рассмотрим сечение призмы плоскостью, перпендикулярной ее боковым ребрам. В сечении образуется треугольник. Так как две боковые грани призмы по условию перпендикулярны, то угол в перпендикулярном сечении, соответствующий двугранному углу между этими гранями, является прямым. Это означает, что наше сечение — это прямоугольный треугольник.

Стороны этого треугольника-сечения равны расстояниям между боковыми ребрами. По условию, общее ребро отстоит от двух других боковых ребер на 6 см и 8 см. Эти расстояния являются катетами нашего прямоугольного треугольника в сечении. Обозначим их как $a = 6$ см и $b = 8$ см.

Для нахождения периметра сечения ($P_{\perp}$) необходимо найти длину третьей стороны — гипотенузы $c$. Применим теорему Пифагора:

$c^2 = a^2 + b^2$

$c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$

$c = \sqrt{100} = 10$ см.

Теперь вычислим периметр перпендикулярного сечения:

$P_{\perp} = a + b + c = 6 + 8 + 10 = 24$ см.

Зная периметр сечения и длину бокового ребра, находим площадь боковой поверхности призмы:

$S_{бок} = P_{\perp} \cdot L = 24 \text{ см} \cdot 10 \text{ см} = 240 \text{ см}^2$.

Ответ: $240 \text{ см}^2$.

25. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Площадь ее поверхности равна $288 \text{ см}^2$. Найдите высоту призмы.

Площадь полной поверхности прямой призмы вычисляется по формуле: $S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок}$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $S_{бок}$ — площадь боковой поверхности.

1. Найдем площадь основания.

Основанием призмы является прямоугольный треугольник с катетами $a = 6$ см и $b = 8$ см. Его площадь равна:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$ см².

2. Найдем площадь боковой поверхности.

Площадь двух оснований составляет $2 \cdot S_{осн} = 2 \cdot 24 = 48$ см². Зная полную площадь поверхности призмы ($S_{полн} = 288$ см²), мы можем найти площадь ее боковой поверхности:

$S_{бок} = S_{полн} - 2 \cdot S_{осн} = 288 - 48 = 240$ см².

3. Найдем высоту призмы.

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра ее основания на высоту: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$.

Сначала вычислим периметр основания. Для этого найдем гипотенузу $c$ прямоугольного треугольника по теореме Пифагора:

$c^2 = a^2 + b^2$

$c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ см.

Теперь найдем периметр основания:

$P_{осн} = a + b + c = 6 + 8 + 10 = 24$ см.

Наконец, найдем высоту призмы $h$:

$h = \frac{S_{бок}}{P_{осн}} = \frac{240}{24} = 10$ см.

Ответ: 10 см.

26. Через среднюю линию основания треугольной призмы, площадь боковой поверхности которой равна $12 \text{ см}^2$, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы.

Пусть дана произвольная треугольная призма, площадь боковой поверхности которой равна $S_{бок} = 12 \text{ см}^2$. Боковая поверхность состоит из трех граней-параллелограммов, основаниями которых служат стороны треугольника в основании призмы. Обозначим стороны основания как $a, b, c$, а длину бокового ребра как $l$. Площадь боковой поверхности является суммой площадей этих трех граней: $S_{бок} = S_a + S_b + S_c$.

В основании призмы через среднюю линию проводится секущая плоскость, параллельная боковому ребру. Пусть средняя линия соединяет середины сторон $a$ и $b$. По свойству средней линии, ее длина равна $c/2$, и она параллельна стороне $c$.

Эта плоскость отсекает от исходной призмы новую, меньшую треугольную призму. Рассмотрим ее характеристики:

1. Основанием новой призмы является треугольник, сторонами которого являются половины сторон $a$ и $b$ исходного треугольника и средняя линия. То есть, стороны нового основания равны $a/2$, $b/2$ и $c/2$.

2. Боковые ребра новой призмы совпадают с частью боковых ребер старой призмы или параллельны им, и их длина остается той же, равной $l$.

Площадь боковой поверхности отсеченной призмы, $S'_{бок}$, также состоит из суммы площадей трех ее боковых граней. Каждая из этих граней является параллелограммом.

- Первая грань имеет основание $a/2$ и боковое ребро $l$. Она является половиной боковой грани исходной призмы со стороной $a$. Ее площадь равна $S_a/2$.- Вторая грань имеет основание $b/2$ и боковое ребро $l$. Она является половиной боковой грани исходной призмы со стороной $b$. Ее площадь равна $S_b/2$.- Третья грань (сама секущая плоскость) имеет основание $c/2$ (средняя линия) и боковое ребро $l$. Поскольку средняя линия параллельна стороне $c$, эта грань будет иметь площадь, равную половине площади исходной грани со стороной $c$. Ее площадь равна $S_c/2$.

Таким образом, площадь боковой поверхности отсеченной призмы равна:$S'_{бок} = \frac{S_a}{2} + \frac{S_b}{2} + \frac{S_c}{2} = \frac{1}{2}(S_a + S_b + S_c)$

Так как $S_a + S_b + S_c = S_{бок} = 12 \text{ см}^2$, получаем:$S'_{бок} = \frac{1}{2} \cdot S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6 \text{ см}^2$.

Ответ: 6 см$^2$.

27. Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы равна $8 \text{ см}^2$. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы.

Пусть дана исходная треугольная призма. Обозначим стороны ее основания (треугольника) как $a$, $b$ и $c$. Длину бокового ребра обозначим как $l$. Боковые грани призмы являются параллелограммами.

Площадь боковой поверхности призмы, $S_{исх}$, равна сумме площадей ее боковых граней. Обозначим эти площади как $S_a$, $S_b$ и $S_c$, где каждая площадь соответствует грани, построенной на стороне основания $a$, $b$ или $c$ соответственно. Таким образом, $S_{исх} = S_a + S_b + S_c$.

Согласно условию, через среднюю линию основания проведена секущая плоскость, параллельная боковому ребру. Эта плоскость отсекает от исходной призмы меньшую треугольную призму.

Рассмотрим основания призм. Пусть исходное основание — треугольник со сторонами $a, b, c$. Средняя линия соединяет середины двух сторон, например, тех, что имеют длины $a$ и $b$. По свойству средней линии, ее длина равна половине третьей стороны, то есть $\frac{c}{2}$. Таким образом, основанием отсеченной призмы является треугольник со сторонами $\frac{a}{2}$, $\frac{b}{2}$ и $\frac{c}{2}$.

Боковое ребро отсеченной призмы имеет ту же длину $l$, что и у исходной призмы, так как секущая плоскость параллельна боковому ребру.

Площадь боковой поверхности отсеченной призмы, $S_{отс}$, также равна сумме площадей ее трех боковых граней. Каждая из этих граней является параллелограммом. Сравним площади боковых граней отсеченной и исходной призм:
- Боковая грань отсеченной призмы, построенная на стороне $\frac{a}{2}$, имеет основание в два раза меньше, чем соответствующая грань исходной призмы (построенная на стороне $a$), а высота у этих параллелограммов (проведенная к основаниям) одинакова, так как боковые ребра параллельны. Следовательно, ее площадь равна $\frac{S_a}{2}$.
- Аналогично, площади двух других боковых граней отсеченной призмы равны $\frac{S_b}{2}$ и $\frac{S_c}{2}$.

Таким образом, площадь боковой поверхности отсеченной призмы составляет:
$S_{отс} = \frac{S_a}{2} + \frac{S_b}{2} + \frac{S_c}{2} = \frac{1}{2}(S_a + S_b + S_c) = \frac{1}{2}S_{исх}$

Мы получили соотношение между площадями боковых поверхностей исходной и отсеченной призм: $S_{отс} = \frac{1}{2}S_{исх}$.

По условию задачи, площадь боковой поверхности отсеченной призмы равна 8 см²:
$S_{отс} = 8 \text{ см}^2$.

Подставляем это значение в нашу формулу:
$8 = \frac{1}{2}S_{исх}$

Отсюда находим искомую площадь боковой поверхности исходной призмы:
$S_{исх} = 2 \cdot 8 = 16 \text{ см}^2$.

Ответ: 16 см².

28. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 6 см, боковые ребра равны 5 см. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

Площадь полной поверхности пирамиды ($S_{полн}$) равна сумме площади ее основания ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$):

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$

1. Найдем площадь основания.

В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат. Сторона основания по условию равна $a = 6$ см. Площадь основания (квадрата) вычисляется по формуле:

$S_{осн} = a^2 = 6^2 = 36$ см$^2$.

2. Найдем площадь боковой поверхности.

Боковая поверхность пирамиды состоит из четырех одинаковых равнобедренных треугольников. Основание каждого треугольника равно стороне основания пирамиды ($a = 6$ см), а боковые стороны являются боковыми ребрами пирамиды ($l = 5$ см).

Чтобы найти площадь одного такого треугольника, нужно вычислить его высоту, которая в пирамиде называется апофемой ($h_a$). Рассмотрим боковую грань. Апофема, проведенная к основанию, делит его на два равных отрезка по $6 \div 2 = 3$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром (гипотенуза), апофемой (катет) и половиной стороны основания (второй катет). По теореме Пифагора найдем апофему:

$h_a^2 = l^2 - (a/2)^2$

$h_a^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16$

$h_a = \sqrt{16} = 4$ см.

Теперь найдем площадь одной боковой грани (треугольника):

$S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$ см$^2$.

Площадь всей боковой поверхности равна сумме площадей четырех таких треугольников:

$S_{бок} = 4 \cdot S_{грани} = 4 \cdot 12 = 48$ см$^2$.

3. Найдем площадь полной поверхности пирамиды.

Сложим площадь основания и площадь боковой поверхности:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 36 + 48 = 84$ см$^2$.

Ответ: 84 см$^2$.