Страница 100 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

3. Объем куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равен 6 $см^3$. Найдите объем тетраэдра $ACB_1D_1$:

A) 1 $см^3$; B) 2 $см^3$; C) 3 $см^3$; D) 4 $см^3$.

Пусть ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $a$. Объем куба вычисляется по формуле $V_{куба} = a^3$. По условию задачи, $V_{куба} = 6 \text{ см}^3$.

Тетраэдр $ACB_1D_1$ вписан в куб. Его объем можно найти, если из объема всего куба вычесть объемы четырех пирамид, которые "отсекаются" от углов куба плоскостями, являющимися гранями тетраэдра. Эти четыре пирамиды конгруэнтны (равны) друг другу.

Рассмотрим одну из таких пирамид, например, пирамиду с вершиной в точке $B$ и основанием $ACB_1$? Нет, это неверно. Рассмотрим пирамиду, отсекаемую от угла $B$. Вершинами этой пирамиды будут $A, B, C, B_1$. Удобно принять за основание этой пирамиды треугольник $ABC$, который лежит в основании куба. Треугольник $ABC$ является прямоугольным, так как угол $\angle B = 90^\circ$. Его катеты $AB$ и $BC$ равны ребру куба $a$.

Площадь основания этой пирамиды (треугольника $ABC$) равна:$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} a \cdot a = \frac{1}{2}a^2$.

Высотой этой пирамиды является ребро $BB_1$, перпендикулярное основанию $ABC$. Длина высоты $h = BB_1 = a$.

Объем одной такой пирамиды равен:$V_{пир} = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2}a^2\right) \cdot a = \frac{1}{6}a^3$.

Таких пирамид четыре (с вершинами в точках $B, D, A_1, C_1$, которые не являются вершинами тетраэдра $ACB_1D_1$). Общий объем этих четырех пирамид:$V_{4пир} = 4 \cdot V_{пир} = 4 \cdot \frac{1}{6}a^3 = \frac{4}{6}a^3 = \frac{2}{3}a^3$.

Теперь найдем объем тетраэдра $ACB_1D_1$, вычитая из объема куба суммарный объем четырех пирамид:$V_{тетр} = V_{куба} - V_{4пир} = a^3 - \frac{2}{3}a^3 = \frac{1}{3}a^3$.

Мы знаем, что объем куба $a^3 = 6 \text{ см}^3$. Подставим это значение в формулу для объема тетраэдра:$V_{тетр} = \frac{1}{3} \cdot (6 \text{ см}^3) = 2 \text{ см}^3$.

Решение:
Пусть сторона куба равна $a$. Объем куба $V_{куба} = a^3 = 6 \text{ см}^3$.
Объем тетраэдра $ACB_1D_1$ можно найти, вычтя из объема куба объемы четырех одинаковых пирамид по углам: $B_1-ABC$, $D_1-ADC$, $A-A_1B_1D_1$ и $C-C_1B_1D_1$.
Объем одной такой пирамиды, например $B_1-ABC$, равен $V_{пир} = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot BB_1$.
Площадь основания $S_{ABC} = \frac{1}{2} a^2$, высота $BB_1 = a$.
$V_{пир} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}a^2 \cdot a = \frac{1}{6}a^3$.
Суммарный объем четырех пирамид $V_{4пир} = 4 \cdot \frac{1}{6}a^3 = \frac{2}{3}a^3$.
Объем тетраэдра $V_{тетр} = V_{куба} - V_{4пир} = a^3 - \frac{2}{3}a^3 = \frac{1}{3}a^3$.
Так как $a^3 = 6 \text{ см}^3$, то $V_{тетр} = \frac{1}{3} \cdot 6 = 2 \text{ см}^3$.
Ответ: B) $2 \text{ см}^3$.

4. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ $AB = 2$ см, $AD = 3$ см, $AA_1 = 4$ см. Найдите объем многогранника с вершинами $A, B, C, D, C_1$:

A) $2 \text{ см}^3$;

B) $4 \text{ см}^3$;

C) $6 \text{ см}^3$;

D) $8 \text{ см}^3$.

Заданный многогранник с вершинами в точках $A, B, C, D, C_1$ является пирамидой, у которой основанием служит прямоугольник $ABCD$, а вершиной — точка $C_1$.

Объем пирамиды вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$

где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

1. Найдем площадь основания. Основание пирамиды — это прямоугольник $ABCD$. Его площадь равна произведению длин его сторон $AB$ и $AD$.

$S_{осн} = AB \cdot AD$

Подставляем известные значения:

$S_{осн} = 2 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} = 6 \text{ см}^2$

2. Найдем высоту пирамиды. Высота пирамиды — это перпендикуляр, опущенный из ее вершины $C_1$ на плоскость основания $ABCD$. Так как $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямоугольный параллелепипед, его боковое ребро $CC_1$ перпендикулярно основанию $ABCD$. Следовательно, длина ребра $CC_1$ является высотой нашей пирамиды. В прямоугольном параллелепипеде все боковые ребра равны, поэтому $CC_1 = AA_1$.

$h = CC_1 = AA_1 = 4 \text{ см}$

3. Теперь можем вычислить объем пирамиды, подставив найденные значения площади основания и высоты в формулу объема:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 6 \text{ см}^2 \cdot 4 \text{ см} = 2 \text{ см}^2 \cdot 4 \text{ см} = 8 \text{ см}^3$

Ответ: D) 8 см³.

5. Найдите объем правильной треугольной призмы, стороны основания которой равны 2 см, а боковые ребра равны 3 см:

A) $\sqrt{3} \text{ см}^3$;

B) $2\sqrt{3} \text{ см}^3$;

C) $3\sqrt{3} \text{ см}^3$;

D) $4\sqrt{3} \text{ см}^3$.

Объем призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота призмы.

1. Найдем площадь основания.
В основании правильной треугольной призмы лежит равносторонний треугольник. Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ находится по формуле: $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. По условию, сторона основания $a = 2$ см. Подставим это значение в формулу: $S_{осн} = \frac{2^2\sqrt{3}}{4} = \frac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$ см².

2. Определим высоту призмы.
Для правильной призмы высота равна длине бокового ребра. По условию, боковое ребро равно 3 см, следовательно, высота $h = 3$ см.

3. Найдем объем призмы.
Подставим найденные значения площади основания и высоты в формулу объема: $V = S_{осн} \cdot h = \sqrt{3} \text{ см}^2 \cdot 3 \text{ см} = 3\sqrt{3}$ см³.

Таким образом, объем призмы равен $3\sqrt{3}$ см³, что соответствует варианту C).

Ответ: $3\sqrt{3}$ см³.

6. Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем треугольной призмы, отсеченной этой плоскостью, если объем исходной призмы равен 8 $cm^3$:

A) 1 $cm^3$;

B) 2 $cm^3$;

C) 3 $cm^3$;

D) 4 $cm^3$.

Пусть дана исходная треугольная призма с объемом $V_{исх} = 8$ см³. Объем призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $h$ — высота призмы.

Для исходной призмы ее объем равен $V_{исх} = S_{исх. осн} \cdot h = 8$ см³.

Секущая плоскость проходит через среднюю линию основания. Средняя линия треугольника отсекает от него меньший треугольник. Этот меньший треугольник подобен исходному с коэффициентом подобия $k = \frac{1}{2}$, так как его стороны в два раза меньше сторон исходного треугольника.

Площадь основания отсеченной призмы ($S_{отс. осн}$) будет относиться к площади основания исходной призмы ($S_{исх. осн}$) как квадрат коэффициента подобия:

$\frac{S_{отс. осн}}{S_{исх. осн}} = k^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$

Следовательно, $S_{отс. осн} = \frac{1}{4} S_{исх. осн}$.

Так как секущая плоскость параллельна боковому ребру, высота отсеченной призмы равна высоте исходной призмы ($h$).

Теперь мы можем найти объем отсеченной призмы ($V_{отс}$):

$V_{отс} = S_{отс. осн} \cdot h = (\frac{1}{4} S_{исх. осн}) \cdot h = \frac{1}{4} (S_{исх. осн} \cdot h)$

Мы знаем, что $S_{исх. осн} \cdot h = V_{исх} = 8$ см³. Подставим это значение в формулу:

$V_{отс} = \frac{1}{4} \cdot V_{исх} = \frac{1}{4} \cdot 8 = 2$ см³.

Ответ: 2 см³.

7. Объем правильной шестиугольной призмы $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$ равен 12 $см^3$. Найдите объем параллелепипеда $ABDE A_1 B_1 D_1 E_1$:

A) 2 $см^3$; B) 4 $см^3$; C) 6 $см^3$; D) 8 $см^3$.

Объем призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота. Поскольку правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ и параллелепипед $ABDEA_1B_1D_1E_1$ имеют одинаковую высоту $h$, то отношение их объемов равно отношению площадей их оснований. Обозначим объем призмы как $V_{призмы} = 12 \text{ см}^3$, а искомый объем параллелепипеда как $V_{пар}$. Тогда $ \frac{V_{пар}}{V_{призмы}} = \frac{S_{ABDE}}{S_{ABCDEF}} $.

Найдем площадь основания правильной шестиугольной призмы, $S_{ABCDEF}$. Правильный шестиугольник со стороной $a$ состоит из шести равносторонних треугольников со стороной $a$. Площадь одного такого треугольника равна $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$, следовательно, площадь всего шестиугольника: $S_{ABCDEF} = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$.

Теперь найдем площадь основания параллелепипеда, $S_{ABDE}$. Основанием является четырехугольник $ABDE$. В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ со стороной $a$ большая диагональ, например $AD$, равна $2a$, а малая диагональ, например $BD$, равна $a\sqrt{3}$. Рассмотрим треугольник $ABD$. Его стороны равны $AB = a$, $BD = a\sqrt{3}$ и $AD = 2a$. Проверим, является ли он прямоугольным, по теореме Пифагора: $AB^2 + BD^2 = a^2 + (a\sqrt{3})^2 = a^2 + 3a^2 = 4a^2$. Поскольку $AD^2 = (2a)^2 = 4a^2$, то $AB^2 + BD^2 = AD^2$. Следовательно, треугольник $ABD$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $B$. Его площадь равна $S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a\sqrt{3} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}$. Основание параллелепипеда $ABDE$ является параллелограммом и состоит из двух таких равных треугольников ($ABD$ и $EDA$), поэтому его площадь: $S_{ABDE} = 2 \cdot S_{\triangle ABD} = 2 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{2} = a^2\sqrt{3}$.

Теперь мы можем найти отношение площадей оснований: $ \frac{S_{ABDE}}{S_{ABCDEF}} = \frac{a^2\sqrt{3}}{\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{3} $. Таким образом, объем параллелепипеда составляет $\frac{2}{3}$ от объема шестиугольной призмы. Вычислим искомый объем: $V_{пар} = \frac{2}{3} \cdot V_{призмы} = \frac{2}{3} \cdot 12 \text{ см}^3 = 8 \text{ см}^3$.

Ответ: 8 см³.

8. Объем треугольной призмы $ABC A_1 B_1 C_1$ равен 6 см$^3$. Найдите объем четырехугольной пирамиды $A_1 BCC_1 B_1$:

A) 1 см$^3$;

B) 2 см$^3$;

C) 3 см$^3$;

D) 4 см$^3$.

Объем triangularной призмы $ABCA_1B_1C_1$ можно представить как сумму объемов двух фигур, на которые ее можно разделить плоскостью, проходящей через вершины $A_1$, $B$, $C$. Этими фигурами являются:

1. Треугольная пирамида $A_1ABC$ с вершиной в точке $A_1$ и основанием $ABC$.

2. Четырехугольная пирамида $A_1BCC_1B_1$ с вершиной в точке $A_1$ и основанием в виде боковой грани $BCC_1B_1$.

Таким образом, объем всей призмы равен сумме объемов этих двух пирамид:

$V_{призмы} = V_{A_1ABC} + V_{A_1BCC_1B_1}$

Найдем объем треугольной пирамиды $A_1ABC$. Объем любой пирамиды вычисляется по формуле:

$V_{пирамиды} = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$,

где $S_{осн}$ – площадь основания, а $h$ – высота.

Для пирамиды $A_1ABC$ основанием является треугольник $ABC$, площадь которого равна площади основания призмы $S_{ABC}$. Высота этой пирамиды – это перпендикуляр, опущенный из вершины $A_1$ на плоскость основания $ABC$, что совпадает с высотой призмы $h$.

Следовательно, объем этой пирамиды:

$V_{A_1ABC} = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot h$

Объем призмы вычисляется по формуле $V_{призмы} = S_{ABC} \cdot h$. По условию, $V_{призмы} = 6 \text{ см}^3$.

Таким образом, мы можем выразить объем пирамиды $A_1ABC$ через объем призмы:

$V_{A_1ABC} = \frac{1}{3} V_{призмы} = \frac{1}{3} \cdot 6 = 2 \text{ см}^3$.

Теперь, зная объем всей призмы и объем одной из ее частей, мы можем найти объем второй части – четырехугольной пирамиды $A_1BCC_1B_1$:

$V_{A_1BCC_1B_1} = V_{призмы} - V_{A_1ABC}$

$V_{A_1BCC_1B_1} = 6 - 2 = 4 \text{ см}^3$.

Ответ: 4 см³.

9. Объем правильной шестиугольной призмы $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ равен $12 \text{ см}^3$. Найдите объем пирамиды $A_1ABCD$:

A) $1 \text{ см}^3$;

B) $2 \text{ см}^3$;

C) $3 \text{ см}^3$;

D) $4 \text{ см}^3$.

Объем правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ вычисляется по формуле $V_{призмы} = S_{основания} \times h$, где $S_{основания}$ — площадь основания (правильного шестиугольника $ABCDEF$), а $h$ — высота призмы (длина ребра $AA_1$). По условию, $V_{призмы} = 12$ см³.

Объем пирамиды $A_1ABCD$ вычисляется по формуле $V_{пирамиды} = \frac{1}{3} S_{ABCD} \times h_{пирамиды}$.

Высота пирамиды $h_{пирамиды}$ — это перпендикуляр, опущенный из вершины $A_1$ на плоскость основания $ABCD$. Поскольку призма правильная (а значит, прямая), ее боковые ребра перпендикулярны основаниям. Следовательно, высота пирамиды совпадает с высотой призмы: $h_{пирамиды} = AA_1 = h$.

Теперь найдем соотношение между площадью основания пирамиды ($S_{ABCD}$) и площадью основания призмы ($S_{ABCDEF}$).

Основание призмы — правильный шестиугольник $ABCDEF$. Пусть сторона шестиугольника равна $a$. Площадь правильного шестиугольника со стороной $a$ равна $S_{ABCDEF} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$.

Основание пирамиды — это четырехугольник $ABCD$, который является частью шестиугольника. Этот четырехугольник представляет собой равнобокую трапецию с основаниями $BC$ и $AD$. Длина меньшего основания $BC$ равна стороне шестиугольника $a$. Длина большего основания $AD$ равна большой диагонали шестиугольника, то есть $2a$.

Высоту трапеции можно найти, рассмотрев прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной $CD=a$, высотой трапеции и отрезком на большем основании. Длина этого отрезка равна $\frac{AD-BC}{2} = \frac{2a-a}{2} = \frac{a}{2}$. По теореме Пифагора высота трапеции равна $\sqrt{a^2 - (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Площадь трапеции $ABCD$ равна:

$S_{ABCD} = \frac{BC+AD}{2} \times (\text{высота}) = \frac{a+2a}{2} \times \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{3a}{2} \times \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{4}$.

Теперь найдем отношение площадей оснований:

$\frac{S_{ABCD}}{S_{ABCDEF}} = \frac{3a^2\sqrt{3}/4}{3a^2\sqrt{3}/2} = \frac{1}{2}$.

Таким образом, площадь основания пирамиды в два раза меньше площади основания призмы: $S_{ABCD} = \frac{1}{2} S_{ABCDEF}$.

Подставим это соотношение в формулу для объема пирамиды:

$V_{пирамиды} = \frac{1}{3} S_{ABCD} \times h = \frac{1}{3} \left(\frac{1}{2} S_{ABCDEF}\right) \times h = \frac{1}{6} (S_{ABCDEF} \times h)$.

Поскольку $V_{призмы} = S_{ABCDEF} \times h = 12$ см³, то объем пирамиды равен:

$V_{пирамиды} = \frac{1}{6} V_{призмы} = \frac{1}{6} \times 12 = 2$ см³.

Ответ: 2 см³.

10. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, ребра которой равны 2 см:

A) $\frac{2\sqrt{2}}{3}$ см³;

B) $\frac{4\sqrt{2}}{3}$ см³;

C) $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ см³;

D) $\frac{4\sqrt{3}}{3}$ см³.

Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

В условии сказано, что пирамида правильная четырехугольная, и все ее ребра равны 2 см. Это значит, что в основании лежит квадрат со стороной $a = 2$ см, и боковые ребра $l$ также равны 2 см.

Найдем площадь основания.
Основание — квадрат, поэтому его площадь: $S_{осн} = a^2 = 2^2 = 4$ см².

Найдем высоту пирамиды.
Высота $H$ правильной пирамиды, боковое ребро $l$ и половина диагонали основания ($d/2$) образуют прямоугольный треугольник, где $l$ — гипотенуза. Найдем половину диагонали основания. Диагональ квадрата $d = a\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ см. Следовательно, ее половина равна $\frac{d}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$ см.
Теперь по теореме Пифагора для этого треугольника ($l^2 = H^2 + (d/2)^2$) найдем высоту: $H^2 = l^2 - (\frac{d}{2})^2 = 2^2 - (\sqrt{2})^2 = 4 - 2 = 2$.
Отсюда $H = \sqrt{2}$ см.

Вычислим объем пирамиды.
Подставим найденные значения в формулу объема: $V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 4 \cdot \sqrt{2} = \frac{4\sqrt{2}}{3}$ см³.

Ответ: $\frac{4\sqrt{2}}{3}$ см³.

11. Найдите объем правильной шестиугольной пирамиды, боковые ребра которой равны 2 см и образуют угол $30^\circ$ с плоскостью основания этой пирамиды:

A) $\frac{\sqrt{3}}{3}$ см$^3$; B) $\frac{2\sqrt{3}}{2}$ см$^3$; C) $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ см$^3$; D) $\sqrt{3}$ см$^3$.

Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}S_{основания} \cdot h$, где $S_{основания}$ — площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

В основании пирамиды лежит правильный шестиугольник. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром пирамиды (которое является гипотенузой), высотой пирамиды $h$ (катет) и проекцией бокового ребра на плоскость основания (второй катет). По условию, длина бокового ребра равна 2 см, а угол между боковым ребром и плоскостью основания (то есть угол между гипотенузой и вторым катетом) составляет $30^{\circ}$.

Высота пирамиды $h$ является катетом, противолежащим углу в $30^{\circ}$, следовательно:
$h = 2 \cdot \sin(30^{\circ}) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$ см.

Проекция бокового ребра на основание — это катет, прилежащий к углу в $30^{\circ}$. Для правильной шестиугольной пирамиды эта проекция равна радиусу описанной окружности, который, в свою очередь, равен стороне основания $a$.
$a = 2 \cdot \cos(30^{\circ}) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ см.

Теперь найдем площадь основания. Площадь правильного шестиугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $S_{основания} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$.
Подставляем найденное значение $a = \sqrt{3}$ см:
$S_{основания} = \frac{3(\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{2}$ см².

Наконец, вычислим объем пирамиды:
$V = \frac{1}{3}S_{основания} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \frac{9\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \frac{9\sqrt{3}}{6} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$ см³.

Ответ: $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ см³.

12. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 8 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй сосуд, диаметр которого в два раза меньше первого:

А) 16 см;

В) 32 см;

С) 48 см;

D) 64 см?

Пусть $V$ — объем жидкости, который остается неизменным при переливании из одного сосуда в другой. Объем жидкости в первом цилиндрическом сосуде определяется формулой $V = S_1 \cdot h_1$, где $S_1$ — площадь основания первого сосуда, а $h_1$ — высота уровня жидкости. По условию, $h_1 = 8$ см.

Площадь основания цилиндра (круга) вычисляется по формуле $S = \pi r^2$, где $r$ — радиус основания. Поскольку радиус равен половине диаметра ($r = d/2$), формулу можно записать через диаметр $d$: $S = \pi (\frac{d}{2})^2 = \frac{\pi d^2}{4}$.

Таким образом, объем жидкости в первом сосуде: $V_1 = \frac{\pi d_1^2}{4} \cdot h_1$.

По условию, диаметр второго сосуда $d_2$ в два раза меньше диаметра первого сосуда $d_1$. Это означает, что $d_2 = \frac{d_1}{2}$.

Найдем площадь основания второго сосуда $S_2$:

$S_2 = \frac{\pi d_2^2}{4} = \frac{\pi (\frac{d_1}{2})^2}{4} = \frac{\pi \frac{d_1^2}{4}}{4} = \frac{\pi d_1^2}{16}$.

Сравнивая площади оснований, видим, что $S_2 = \frac{S_1}{4}$. То есть, площадь основания второго сосуда в 4 раза меньше площади основания первого.

Объем жидкости во втором сосуде равен $V_2 = S_2 \cdot h_2$, где $h_2$ — искомая высота.

Так как объем жидкости не изменился, $V_1 = V_2$, следовательно:

$S_1 \cdot h_1 = S_2 \cdot h_2$

Подставим выражение для $S_2$:

$S_1 \cdot h_1 = \frac{S_1}{4} \cdot h_2$

Сократим $S_1$ в обеих частях уравнения (так как площадь не равна нулю):

$h_1 = \frac{h_2}{4}$

Отсюда выразим $h_2$:

$h_2 = 4 \cdot h_1$

Теперь подставим известное значение $h_1 = 8$ см:

$h_2 = 4 \cdot 8 = 32$ см.

Ответ: B) 32 см.