Страница 93 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Доказательство аналогично доказательству формулы объема усеченной пирамиды. Проведите его самостоятельно.

В задании предлагается самостоятельно доказать формулу, аналогичную формуле объема усеченной пирамиды. В контексте геометрии тел вращения, речь идет о формуле объема усеченного конуса.

Доказательство формулы объема усеченного конуса

Требуется доказать, что объем усеченного конуса с высотой $h$ и радиусами оснований $R$ и $r$ ($R > r$) вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + Rr + r^2)$.

Доказательство основано на представлении объема усеченного конуса как разности объемов двух конусов: большого (полного), из которого был получен усеченный, и малого (отсеченного).

1. Рассмотрим усеченный конус. Мысленно дополним его до полного конуса. Пусть высота полного конуса будет $H$, а его основанием будет большее основание усеченного конуса с радиусом $R$. Малый конус, который мы "отсекли" от вершины, будет иметь радиус основания $r$ и высоту $h_1$. Высота самого усеченного конуса равна $h$. Очевидно, что $H = h + h_1$.

2. Рассмотрим осевое сечение полного конуса. Оно представляет собой равнобедренный треугольник. Прямая, параллельная основанию этого треугольника, отсекает от него подобный ему меньший треугольник. Эти два треугольника являются осевыми сечениями полного и малого конусов. Из подобия этих треугольников следует пропорциональность их высот и радиусов оснований:

$\frac{H}{R} = \frac{h_1}{r}$

3. Подставим в эту пропорцию $H = h + h_1$ и выразим высоту малого конуса $h_1$ через известные нам величины $h, R, r$:

$\frac{h + h_1}{R} = \frac{h_1}{r}$

$r(h + h_1) = R h_1$

$rh + rh_1 = R h_1$

$rh = R h_1 - rh_1$

$rh = h_1(R - r)$

$h_1 = \frac{rh}{R - r}$

4. Теперь найдем высоту полного конуса $H$:

$H = h + h_1 = h + \frac{rh}{R-r} = \frac{h(R-r) + rh}{R-r} = \frac{hR - hr + rh}{R-r} = \frac{hR}{R-r}$

5. Объем усеченного конуса $V$ равен разности объемов полного конуса ($V_{полн}$) и малого конуса ($V_{мал}$):

$V = V_{полн} - V_{мал}$

Используя стандартную формулу объема конуса $V_{конуса} = \frac{1}{3} \pi (\text{радиус})^2 \cdot (\text{высота})$, получаем:

$V = \frac{1}{3} \pi R^2 H - \frac{1}{3} \pi r^2 h_1 = \frac{1}{3} \pi (R^2 H - r^2 h_1)$

6. Подставим в это выражение найденные ранее выражения для $H$ и $h_1$:

$V = \frac{1}{3} \pi \left( R^2 \cdot \frac{hR}{R-r} - r^2 \cdot \frac{rh}{R-r} \right)$

Вынесем общий множитель $\frac{h}{R-r}$ за скобки:

$V = \frac{1}{3} \pi \frac{h}{R-r} (R^3 - r^3)$

7. Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ для выражения $R^3 - r^3$:

$V = \frac{1}{3} \pi h \frac{(R-r)(R^2+Rr+r^2)}{R-r}$

8. Сократив дробь на $(R-r)$, получаем итоговую формулу объема усеченного конуса:

$V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + Rr + r^2)$

Доказательство завершено.

Ответ: Формула для вычисления объема усеченного конуса $V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + Rr + r^2)$ доказана. Доказательство аналогично выводу формулы объема усеченной пирамиды и основывается на представлении усеченного тела как разности двух полных тел.