Страница 96 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

16.19. Найдите объем тела, получающегося при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей катет, равный 3 см.

По условию задачи дан равнобедренный прямоугольный треугольник. В таком треугольнике катеты равны. Длина катета, вокруг которого происходит вращение, составляет 3 см. Следовательно, длина второго катета также равна 3 см.

При вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов образуется тело вращения, которое является конусом.

Высота этого конуса $h$ будет равна длине катета, который является осью вращения. Таким образом, $h = 3$ см.

Радиус основания конуса $r$ будет равен длине второго катета. Таким образом, $r = 3$ см.

Объем конуса вычисляется по формуле:
$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$

Подставим известные значения высоты и радиуса в формулу для нахождения объема:
$V = \frac{1}{3} \pi \cdot (3 \text{ см})^2 \cdot 3 \text{ см} = \frac{1}{3} \pi \cdot 9 \text{ см}^2 \cdot 3 \text{ см} = 9\pi \text{ см}^3$

Ответ: $9\pi$ см³.

16.20. Единичный квадрат вращается вокруг прямой, содержащей его диагональ. Найдите объем тела вращения.

При вращении квадрата вокруг его диагонали образуется тело вращения, состоящее из двух одинаковых конусов, которые соединены своими основаниями. Диагональ квадрата является общей высотой этих двух конусов, разделенной пополам, а также осью вращения.

1. Сначала найдем размеры этих конусов. Нам дан единичный квадрат, значит, его сторона $a=1$.

2. Длину диагонали $d$ квадрата найдем по теореме Пифагора: $d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

3. Тело вращения состоит из двух конусов. Высота каждого конуса $H$ равна половине длины диагонали квадрата. Диагонали квадрата в точке пересечения делятся пополам. Таким образом, $H = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

4. Радиус основания каждого конуса $R$ также равен половине длины диагонали (это расстояние от вершины квадрата, не лежащей на оси вращения, до этой оси). Таким образом, $R = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

5. Объем одного конуса вычисляется по формуле $V_{конуса} = \frac{1}{3}\pi R^2 H$.

6. Так как тело вращения состоит из двух одинаковых конусов, его общий объем $V$ будет равен удвоенному объему одного конуса:$V = 2 \cdot V_{конуса} = 2 \cdot \frac{1}{3}\pi R^2 H$.

7. Подставим значения $R$ и $H$ в формулу:$V = 2 \cdot \frac{1}{3}\pi \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2}{3}\pi \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2}{3}\pi \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2\pi\sqrt{2}}{12} = \frac{\pi\sqrt{2}}{6}$.

Ответ: $V = \frac{\pi\sqrt{2}}{6}$.

16.21. Разверткой боковой поверхности конуса служит полукруг радиусом 2 см. Найдите объем конуса.

По условию задачи, разверткой боковой поверхности конуса является полукруг. Радиус этого полукруга равен образующей конуса ($l$). Следовательно, образующая конуса $l = 2$ см.

Длина дуги этого полукруга равна длине окружности основания конуса ($C$). Найдем длину дуги развертки ($L_{дуги}$), которая представляет собой половину длины окружности с радиусом $l=2$ см:

$L_{дуги} = \frac{1}{2} \cdot 2\pi l = \pi l = \pi \cdot 2 = 2\pi$ см.

Длина окружности основания конуса вычисляется по формуле $C = 2\pi r$, где $r$ – радиус основания конуса. Так как $L_{дуги} = C$, мы можем приравнять эти значения, чтобы найти $r$:

$2\pi r = 2\pi$

$r = 1$ см.

Теперь необходимо найти высоту конуса ($h$). Высота, радиус основания и образующая конуса связаны теоремой Пифагора, поскольку они образуют прямоугольный треугольник, в котором образующая является гипотенузой:

$l^2 = r^2 + h^2$

Выразим высоту $h$:

$h^2 = l^2 - r^2$

Подставим известные значения $l=2$ см и $r=1$ см:

$h^2 = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3$

$h = \sqrt{3}$ см.

Наконец, вычислим объем конуса ($V$) по формуле:

$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$

Подставим найденные значения $r=1$ см и $h=\sqrt{3}$ см:

$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 1^2 \cdot \sqrt{3} = \frac{\pi\sqrt{3}}{3}$ см$^3$.

Ответ: $\frac{\pi\sqrt{3}}{3}$ см$^3$.

16.22. Найдите объем кучи песка на строительной площадке, имеющей форму конуса (рис. 16.7). Измерив мягкой метровой лентой длину окружности основания кучи песка, получили 21,6 м. Перекинув метровую ленту через вершину кучи, определили длину двух образующих — 7,8 м. (Примите $\pi \approx 3$).

Рис. 16.7

Для нахождения объема кучи песка, имеющей форму конуса, воспользуемся формулой объема конуса: $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$, где $r$ — радиус основания, а $h$ — высота конуса. В задаче даны длина окружности основания $C = 21,6$ м, длина двух образующих $2l = 7,8$ м и значение $\pi \approx 3$.
1. Найдем радиус основания конуса ($r$). Длина окружности вычисляется по формуле $C = 2 \pi r$. Выразим отсюда радиус:
$r = \frac{C}{2\pi}$
Подставим известные значения:
$r = \frac{21,6}{2 \cdot 3} = \frac{21,6}{6} = 3,6$ м.
2. Найдем длину образующей конуса ($l$). По условию, длина двух образующих, перекинутых через вершину, равна 7,8 м. Следовательно, длина одной образующей равна:
$l = \frac{7,8}{2} = 3,9$ м.
3. Найдем высоту конуса ($h$). Высота, радиус и образующая прямого конуса связаны соотношением теоремы Пифагора: $l^2 = h^2 + r^2$. Выразим отсюда высоту:
$h = \sqrt{l^2 - r^2}$
Подставим найденные значения $l$ и $r$:
$h = \sqrt{3,9^2 - 3,6^2} = \sqrt{15,21 - 12,96} = \sqrt{2,25} = 1,5$ м.
4. Теперь, зная радиус и высоту, можем вычислить объем конуса:
$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$
Подставим все значения:
$V = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot (3,6)^2 \cdot 1,5 = 1 \cdot 12,96 \cdot 1,5 = 19,44$ м³.
Ответ: 19,44 м³.

16.23. Повторите определение шара и принцип Кавальери.

Определение шара

Шар — это пространственное геометрическое тело, представляющее собой совокупность всех точек пространства, находящихся от заданной точки (называемой центром шара) на расстоянии, не превышающем заданное положительное число (называемое радиусом шара).

Другими словами, если точка $O$ — центр шара, а $R$ — его радиус ($R > 0$), то шар состоит из всех точек пространства $M$, для которых выполняется неравенство $OM \le R$.

Поверхность, ограничивающая шар, называется сферой. Все точки сферы находятся на одинаковом расстоянии, равном радиусу, от центра шара ($OM = R$). Таким образом, шар — это часть пространства, ограниченная сферой, включая саму сферу.

Шар также можно получить путем вращения полукруга или круга вокруг его диаметра.

Основные формулы, связанные с шаром:
1. Объем шара радиуса $R$ вычисляется по формуле: $V = \frac{4}{3}\pi R^3$.
2. Площадь поверхности шара (то есть площадь сферы) радиуса $R$ вычисляется по формуле: $S = 4\pi R^2$.

Ответ:

Принцип Кавальери

Принцип Кавальери (названный в честь итальянского математика XVII века Бонавентуры Кавальери) — это метод для нахождения объемов (в трехмерном пространстве) и площадей (в двумерном пространстве). Он также известен как "метод неделимых".

Формулировка для объемов (наиболее распространенная):
Если два пространственных тела можно поместить между двумя параллельными плоскостями так, что всякая плоскость, параллельная этим двум, пересекает оба тела по фигурам с равными площадями, то объемы этих двух тел равны.

Идея принципа заключается в том, что если мы "нарезаем" два тела на бесконечно тонкие параллельные слои, и площадь каждого слоя одного тела равна площади соответствующего слоя другого тела, то их суммарные объемы будут одинаковы. Простой наглядный пример — стопка монет. Ее объем не изменится, если сдвинуть часть монет в сторону, превратив прямой цилиндр в наклонный, так как площадь каждой монеты (слоя) и общая высота остаются прежними.

Этот принцип является мощным инструментом для вычисления объемов сложных фигур. Классическим примером его применения является вывод формулы объема шара. Объем полушария радиуса $R$ сравнивается с объемом тела, полученного из прямого кругового цилиндра (с радиусом основания $R$ и высотой $R$) путем удаления из него конуса (с вершиной в центре основания цилиндра и основанием, совпадающим с другим основанием цилиндра).

На произвольной высоте $h$ от основания ($0 \le h \le R$):
• Площадь сечения полушария — это круг, его площадь равна $S_1 = \pi(R^2 - h^2)$.
• Площадь сечения второго тела (цилиндр минус конус) — это кольцо, его площадь равна $S_2 = \pi R^2 - \pi h^2 = \pi(R^2 - h^2)$.

Поскольку площади сечений $S_1$ и $S_2$ равны на любой высоте $h$, то по принципу Кавальери объемы тел равны. Объем второго тела легко посчитать как разность объемов цилиндра и конуса: $V_{полушария} = V_{цилиндра} - V_{конуса} = \pi R^2 \cdot R - \frac{1}{3}\pi R^2 \cdot R = \frac{2}{3}\pi R^3$.
Соответственно, объем всего шара вдвое больше: $V_{шара} = 2 \cdot V_{полушария} = \frac{4}{3}\pi R^3$.

В интегральной форме принцип утверждает, что если площади поперечных сечений двух тел $S_1(x)$ и $S_2(x)$ равны для всех $x$ на отрезке $[a, b]$, то их объемы равны: $V_1 = \int_a^b S_1(x)dx = \int_a^b S_2(x)dx = V_2$.

Ответ: