Страница 89 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Выведите формулу объема усеченной правильной четырехугольной пирамиды, стороны оснований которой равны $a$ и $b$, а высота равна $h$.

Объем усеченной правильной четырехугольной пирамиды можно определить как разность объемов двух полных пирамид: большой (исходной) и малой (той, что была отсечена от вершины).

Пусть $a$ — сторона большего (нижнего) основания, а $b$ — сторона меньшего (верхнего) основания. Высота самой усеченной пирамиды равна $h$.

Площадь нижнего основания $S_1 = a^2$.

Площадь верхнего основания $S_2 = b^2$.

Достроим усеченную пирамиду до полной. Пусть высота полной пирамиды равна $H$, а высота отсеченной малой пирамиды — $x$. Тогда высота полной пирамиды будет $H = h + x$.

Объем усеченной пирамиды $V$ равен разности объемов полной пирамиды $V_1$ и малой отсеченной пирамиды $V_2$:

$V = V_1 - V_2 = \frac{1}{3}S_1 H - \frac{1}{3}S_2 x = \frac{1}{3}a^2(h+x) - \frac{1}{3}b^2x$

В этой формуле присутствует неизвестная величина $x$. Чтобы найти ее, воспользуемся подобием. Малая (отсеченная) пирамида подобна большой (полной) пирамиде. Отношение их линейных размеров (высот, сторон оснований) равно коэффициенту подобия. Рассмотрим осевое сечение пирамид. Оно представляет собой два подобных равнобедренных треугольника.

Из подобия треугольников следует отношение:

$\frac{x}{H} = \frac{b}{a}$

Подставим $H = h + x$ в это соотношение:

$\frac{x}{h+x} = \frac{b}{a}$

Теперь решим это уравнение, чтобы выразить $x$ через $a$, $b$ и $h$:

$ax = b(h+x)$

$ax = bh + bx$

$ax - bx = bh$

$x(a-b) = bh$

$x = \frac{bh}{a-b}$

Теперь подставим найденное выражение для $x$ в формулу объема:

$V = \frac{1}{3}(a^2(h+x) - b^2x) = \frac{1}{3}(a^2h + a^2x - b^2x) = \frac{1}{3}(a^2h + x(a^2 - b^2))$

$V = \frac{1}{3}(a^2h + \frac{bh}{a-b}(a^2 - b^2))$

Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$V = \frac{1}{3}(a^2h + \frac{bh}{a-b}(a-b)(a+b))$

Сократим $(a-b)$:

$V = \frac{1}{3}(a^2h + bh(a+b))$

Раскроем скобки и вынесем общий множитель $h$:

$V = \frac{1}{3}(a^2h + abh + b^2h)$

$V = \frac{1}{3}h(a^2 + ab + b^2)$

Это и есть искомая формула объема усеченной правильной четырехугольной пирамиды.

Ответ: $V = \frac{1}{3}h(a^2 + ab + b^2)$

Вопросы

1. Как вычисляется объем треугольной пирамиды?

2. Как вычисляется объем произвольной пирамиды?

3. Как вычисляется объем усеченной пирамиды?

1. Как вычисляется объем треугольной пирамиды?

Объем треугольной пирамиды, также известной как тетраэдр, вычисляется как одна треть произведения площади ее основания на высоту. Основанием такой пирамиды является треугольник. Высота пирамиды ($h$) — это длина перпендикуляра, проведенного из вершины пирамиды к плоскости ее основания. Площадь основания ($S_{осн}$) — это площадь треугольника, лежащего в основании.

Ответ: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$

2. Как вычисляется объем произвольной пирамиды?

Объем произвольной пирамиды, в основании которой может лежать любой многоугольник (например, квадрат, пятиугольник и т.д.), вычисляется по той же общей формуле, что и для треугольной пирамиды. Объем равен одной трети произведения площади многоугольника в основании ($S_{осн}$) на высоту пирамиды ($h$). Высотой является расстояние по перпендикуляру от вершины до плоскости основания.

Ответ: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$

3. Как вычисляется объем усеченной пирамиды?

Усеченная пирамида — это часть пирамиды, которая находится между ее основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию. У нее есть два основания — нижнее и верхнее, которые являются подобными многоугольниками. Объем усеченной пирамиды вычисляется с использованием площадей обоих оснований и высоты. Пусть $S_1$ — площадь нижнего основания, $S_2$ — площадь верхнего основания, а $h$ — высота усеченной пирамиды (расстояние между плоскостями оснований).

Ответ: $V = \frac{1}{3}h(S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2)$

15.1. Выведите формулу объема правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания $a$ и высотой $h$.

15.1. Общая формула для вычисления объема любой пирамиды имеет вид: $V = \frac{1}{3} S_{осн} h$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.
В нашем случае речь идет о правильной четырехугольной пирамиде. Это означает, что ее основанием является правильный четырехугольник, то есть квадрат.
По условию, сторона основания (квадрата) равна $a$. Площадь квадрата вычисляется по формуле $S = a^2$. Следовательно, площадь основания нашей пирамиды $S_{осн} = a^2$.
Высота пирамиды дана и равна $h$.
Теперь подставим выражение для площади основания в общую формулу объема пирамиды:
$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot h$.
Таким образом, мы вывели формулу для объема правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания $a$ и высотой $h$.
Ответ: $V = \frac{1}{3}a^2h$.

15.2. В правильной четырехугольной пирамиде высота 3 м, боковое ребро 5 м. Найдите ее объем.

15.2. Объем пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

По условию задачи, высота пирамиды $H = 3$ м. Поскольку пирамида правильная четырехугольная, в ее основании лежит квадрат. Найдем площадь этого квадрата.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, ее боковым ребром и половиной диагонали квадрата, лежащего в основании. В этом треугольнике:

• гипотенуза — это боковое ребро $L = 5$ м;
• один катет — это высота пирамиды $H = 3$ м;
• другой катет — это половина диагонали основания (обозначим ее как $R$).

По теореме Пифагора найдем $R$: $L^2 = H^2 + R^2$ $5^2 = 3^2 + R^2$ $25 = 9 + R^2$ $R^2 = 25 - 9 = 16$ $R = \sqrt{16} = 4$ м.

Таким образом, половина диагонали основания равна 4 м. Полная диагональ основания $d$ равна: $d = 2R = 2 \cdot 4 = 8$ м.

Площадь квадрата можно вычислить через его диагональ по формуле: $S_{осн} = \frac{d^2}{2}$ Подставим значение диагонали: $S_{осн} = \frac{8^2}{2} = \frac{64}{2} = 32$ м².

Теперь, зная площадь основания и высоту, можем найти объем пирамиды: $V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 32 \cdot 3 = 32$ м³.

Ответ: 32 м³.

15.3. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, сторона основания и высота которой равны 1 см.

15.3. Объем пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

В основании правильной треугольной пирамиды лежит правильный (равносторонний) треугольник. Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ находится по формуле: $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

По условию задачи, сторона основания $a = 1$ см. Найдем площадь основания:

$S_{осн} = \frac{1^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4}$ см².

Высота пирамиды, по условию, равна $H = 1$ см. Теперь подставим найденную площадь основания и высоту в формулу для объема пирамиды:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 1 = \frac{\sqrt{3}}{12}$ см³.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{12}$ см³.

15.4. Найдите объем правильной шестиугольной пирамиды, стороны основания и высота которой равны 1 см.

15.4. Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}S_{осн}h$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

Основанием данной пирамиды является правильный шестиугольник. Площадь правильного шестиугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$. Это связано с тем, что правильный шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников со стороной $a$, площадь каждого из которых равна $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

По условию задачи, сторона основания $a = 1$ см. Подставим это значение в формулу для площади основания:

$S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot (1 \text{ см})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}$ см$^2$.

Высота пирамиды по условию также равна $h = 1$ см.

Теперь мы можем найти объем пирамиды, подставив значения площади основания и высоты в основную формулу:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} \text{ см}^2 \cdot 1 \text{ см} = \frac{3\sqrt{3}}{6} \text{ см}^3 = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см$^3$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$ см$^3$.

15.5. Найдите объем правильной шестиугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1 см, а боковые ребра равны 2 см.

15.5. Для нахождения объема правильной шестиугольной пирамиды используется формула: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Найдем площадь основания ($S_{осн}$).
Основанием пирамиды является правильный шестиугольник со стороной $a = 1$ см. Площадь правильного шестиугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле: $S_{осн} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$.Подставим значение стороны $a = 1$ см:$S_{осн} = \frac{3 \cdot 1^2 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$ см².

2. Найдем высоту пирамиды ($H$).
Высота правильной пирамиды ($H$) образует прямоугольный треугольник с боковым ребром ($L$) и радиусом описанной около основания окружности ($R$). Боковое ребро является гипотенузой, а высота и радиус — катетами. По теореме Пифагора: $H^2 + R^2 = L^2$.В правильном шестиугольнике радиус описанной окружности равен его стороне, поэтому $R = a = 1$ см.По условию, боковое ребро $L = 2$ см.Выразим и найдем высоту:$H^2 = L^2 - R^2 = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3$.$H = \sqrt{3}$ см.

3. Вычислим объем пирамиды ($V$).
Подставим найденные значения площади основания и высоты в формулу для объема:$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{1 \cdot 3 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{3 \cdot 2} = \frac{3 \cdot 3}{6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} = 1,5$ см³.

Ответ: $1,5$ см³.

15.6. Найдите объем тетраэдра с ребром, равным 1 см.

15.7. Ре...

15.6. Для нахождения объема тетраэдра с ребром, равным 1 см, будем считать, что речь идет о правильном тетраэдре, то есть о трехмерной фигуре, у которой все четыре грани являются равносторонними треугольниками. Длина каждого ребра $a$ составляет 1 см.

Объем любой пирамиды вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$

где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

1. Найдем площадь основания.

Основанием правильного тетраэдра является равносторонний треугольник со стороной $a$. Площадь равностороннего треугольника находится по формуле:

$S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Подставим значение $a = 1$ см:

$S_{осн} = \frac{1^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4}$ см$^2$.

2. Найдем высоту тетраэдра.

Высота $h$ правильного тетраэдра опускается из его вершины в центр основания. Центр равностороннего треугольника (точка пересечения медиан, высот и биссектрис) делит его высоту (медиану) в отношении 2:1, считая от вершины. Найдем расстояние $R$ от вершины основания до его центра. Это расстояние является радиусом описанной около основания окружности.

Для равностороннего треугольника $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

Высота тетраэдра $h$, боковое ребро $a$ и радиус $R$ образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора:

$h^2 + R^2 = a^2$

Отсюда выразим высоту:

$h^2 = a^2 - R^2 = a^2 - (\frac{a}{\sqrt{3}})^2 = a^2 - \frac{a^2}{3} = \frac{3a^2 - a^2}{3} = \frac{2a^2}{3}$

$h = \sqrt{\frac{2a^2}{3}} = a \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$

Подставим значение $a = 1$ см:

$h = \frac{1 \cdot \sqrt{6}}{3} = \frac{\sqrt{6}}{3}$ см.

3. Вычислим объем тетраэдра.

Теперь подставим найденные значения $S_{осн}$ и $h$ в формулу объема:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a\sqrt{6}}{3} = \frac{a^3 \sqrt{18}}{36} = \frac{a^3 \sqrt{9 \cdot 2}}{36} = \frac{a^3 \cdot 3\sqrt{2}}{36} = \frac{a^3 \sqrt{2}}{12}$

Это общая формула для объема правильного тетраэдра. Подставим в нее длину ребра $a = 1$ см:

$V = \frac{1^3 \cdot \sqrt{2}}{12} = \frac{\sqrt{2}}{12}$ см$^3$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{12}$ см$^3$.

15.7. Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза?

15.7. Пусть первоначальная длина ребра правильного тетраэдра равна $a$. Объем правильного тетраэдра вычисляется по формуле $V = \frac{a^3\sqrt{2}}{12}$.
Следовательно, первоначальный объем равен $V_1 = \frac{a^3\sqrt{2}}{12}$.
По условию задачи, все ребра увеличили в два раза. Новая длина ребра стала равна $2a$.
Новый объем $V_2$ будет равен:
$V_2 = \frac{(2a)^3\sqrt{2}}{12} = \frac{8a^3\sqrt{2}}{12}$.
Чтобы найти, во сколько раз увеличился объем, найдем отношение нового объема к первоначальному:
$\frac{V_2}{V_1} = \frac{\frac{8a^3\sqrt{2}}{12}}{\frac{a^3\sqrt{2}}{12}} = 8$.

Альтернативное решение:
Если два тела подобны, то отношение их объемов равно кубу коэффициента подобия. При увеличении всех ребер тетраэдра в 2 раза мы получаем подобный ему тетраэдр с коэффициентом подобия $k=2$.
Следовательно, отношение их объемов будет равно $k^3$:
$\frac{V_2}{V_1} = k^3 = 2^3 = 8$.
Таким образом, объем увеличится в 8 раз.
Ответ: 8

15.8. Как изменится объем правильной пирамиды, если ее высота будет увеличена в три раза, а сторона основания уменьшена в три раза?

Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}S_{осн}h$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

Поскольку пирамида правильная, в ее основании лежит правильный многоугольник (например, квадрат или равносторонний треугольник). Площадь такого многоугольника всегда пропорциональна квадрату длины его стороны. Обозначим начальную сторону основания как $a_1$, а начальную высоту как $h_1$. Тогда начальный объем $V_1$ равен:

$V_1 = \frac{1}{3}S_1h_1$, где площадь основания $S_1$ пропорциональна $a_1^2$.

Согласно условию, параметры пирамиды изменились. Новая высота $h_2$ в три раза больше начальной:

$h_2 = 3h_1$

Новая сторона основания $a_2$ в три раза меньше начальной:

$a_2 = \frac{a_1}{3}$

Найдем, как изменилась площадь основания. Так как площадь $S$ пропорциональна квадрату стороны $a$, новая площадь $S_2$ будет равна:

$S_2 \sim a_2^2 = \left(\frac{a_1}{3}\right)^2 = \frac{a_1^2}{9}$

Это означает, что новая площадь основания стала в 9 раз меньше первоначальной: $S_2 = \frac{S_1}{9}$.

Теперь можем найти новый объем пирамиды $V_2$, подставив новые значения площади основания и высоты в формулу:

$V_2 = \frac{1}{3}S_2h_2 = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{S_1}{9}\right) \cdot (3h_1)$

Сгруппируем множители, чтобы сравнить новый объем с исходным $V_1 = \frac{1}{3}S_1h_1$:

$V_2 = \frac{3}{9} \cdot \left(\frac{1}{3}S_1h_1\right) = \frac{1}{3}V_1$

Таким образом, новый объем пирамиды составляет одну треть от первоначального объема.

Ответ: Объем пирамиды уменьшится в 3 раза.