Номер 15.8, страница 89 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

15.8. Как изменится объем правильной пирамиды, если ее высота будет увеличена в три раза, а сторона основания уменьшена в три раза?

Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}S_{осн}h$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

Поскольку пирамида правильная, в ее основании лежит правильный многоугольник (например, квадрат или равносторонний треугольник). Площадь такого многоугольника всегда пропорциональна квадрату длины его стороны. Обозначим начальную сторону основания как $a_1$, а начальную высоту как $h_1$. Тогда начальный объем $V_1$ равен:

$V_1 = \frac{1}{3}S_1h_1$, где площадь основания $S_1$ пропорциональна $a_1^2$.

Согласно условию, параметры пирамиды изменились. Новая высота $h_2$ в три раза больше начальной:

$h_2 = 3h_1$

Новая сторона основания $a_2$ в три раза меньше начальной:

$a_2 = \frac{a_1}{3}$

Найдем, как изменилась площадь основания. Так как площадь $S$ пропорциональна квадрату стороны $a$, новая площадь $S_2$ будет равна:

$S_2 \sim a_2^2 = \left(\frac{a_1}{3}\right)^2 = \frac{a_1^2}{9}$

Это означает, что новая площадь основания стала в 9 раз меньше первоначальной: $S_2 = \frac{S_1}{9}$.

Теперь можем найти новый объем пирамиды $V_2$, подставив новые значения площади основания и высоты в формулу:

$V_2 = \frac{1}{3}S_2h_2 = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{S_1}{9}\right) \cdot (3h_1)$

Сгруппируем множители, чтобы сравнить новый объем с исходным $V_1 = \frac{1}{3}S_1h_1$:

$V_2 = \frac{3}{9} \cdot \left(\frac{1}{3}S_1h_1\right) = \frac{1}{3}V_1$

Таким образом, новый объем пирамиды составляет одну треть от первоначального объема.

Ответ: Объем пирамиды уменьшится в 3 раза.