Номер 15.9, страница 90 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

15.9 Объем параллелепипеда $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ равен $1 \text{ см}^3$. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки:

а) $A, B, C, D, B_1$;

б) $A, B, D, C_1$ (рис. 15.5).

Рис. 15.5

Пусть объем параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равен $V$. По условию $V = 1$ см³. Объем параллелепипеда вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота. В качестве основания возьмем параллелограмм $ABCD$, тогда $V = S_{ABCD} \cdot h$.

а) Найдем объем многогранника с вершинами в точках $A, B, C, D, B_1$. Этот многогранник является пирамидой, основанием которой служит основание параллелепипеда — параллелограмм $ABCD$, а вершиной — точка $B_1$. Объем пирамиды вычисляется по формуле $V_{пир} = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h_{пир}$. В нашем случае площадь основания пирамиды $S_{осн} = S_{ABCD}$. Высота пирамиды $h_{пир}$ — это перпендикуляр, опущенный из вершины $B_1$ на плоскость основания $ABCD$. Эта высота совпадает с высотой параллелепипеда $h$. Таким образом, объем пирамиды $V_a$ равен: $V_a = \frac{1}{3} S_{ABCD} \cdot h$ Так как объем параллелепипеда $V = S_{ABCD} \cdot h = 1$ см³, то объем искомого многогранника: $V_a = \frac{1}{3} V = \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3}$ см³.
Ответ: $\frac{1}{3}$ см³.

б) Найдем объем многогранника с вершинами в точках $A, B, D, C_1$. Этот многогранник является тетраэдром (треугольной пирамидой). В качестве основания тетраэдра можно выбрать треугольник $ABD$, тогда вершиной будет точка $C_1$. Объем пирамиды вычисляется по формуле $V_{пир} = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h_{пир}$. Площадь основания этой пирамиды — это площадь треугольника $ABD$. Диагональ $BD$ делит параллелограмм $ABCD$ на два равновеликих треугольника, поэтому площадь треугольника $ABD$ равна половине площади параллелограмма $ABCD$: $S_{ABD} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$. Высота пирамиды — это перпендикуляр, опущенный из вершины $C_1$ на плоскость основания $ABD$ (которая совпадает с плоскостью $ABCD$). Эта высота равна высоте параллелепипеда $h$. Таким образом, объем тетраэдра $V_б$ равен: $V_б = \frac{1}{3} S_{ABD} \cdot h = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} S_{ABCD} \right) \cdot h = \frac{1}{6} S_{ABCD} \cdot h$. Так как объем параллелепипеда $V = S_{ABCD} \cdot h = 1$ см³, то объем искомого многогранника: $V_б = \frac{1}{6} V = \frac{1}{6} \cdot 1 = \frac{1}{6}$ см³.
Ответ: $\frac{1}{6}$ см³.