Номер 15.16, страница 90 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

15.16. Объем параллелепипеда равен $1 \text{ см}^3$ (рис. 15.5). Найдите объем тетраэдра $BDA_1C_1$.

Рис. 15.5

Для решения задачи найдем объем тетраэдра $BDA_1C_1$, вычитая из объема всего параллелепипеда объемы четырех "угловых" тетраэдров (пирамид).

Пусть объем параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равен $V_{пар}$. По условию, $V_{пар} = 1 \text{ см}^3$. Объем параллелепипеда вычисляется по формуле $V_{пар} = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота.

Объем искомого тетраэдра $BDA_1C_1$ можно найти, если из объема $V_{пар}$ вычесть объемы четырех тетраэдров, которые "отсекаются" от углов параллелепипеда. Эти четыре тетраэдра: $A_1ABD$ (с вершиной $A_1$ и основанием $ABD$), $C_1BCD$ (с вершиной $C_1$ и основанием $BCD$), $BA_1B_1C_1$ (с вершиной $B$ и основанием $A_1B_1C_1$) и $DA_1D_1C_1$ (с вершиной $D$ и основанием $A_1D_1C_1$).

Рассмотрим объем одного из этих тетраэдров, например, $A_1ABD$. Его объем вычисляется по формуле объема пирамиды: $V_{пир} = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$.

В качестве основания этого тетраэдра возьмем треугольник $ABD$, который лежит в плоскости основания параллелепипеда. Площадь треугольника $ABD$ равна половине площади основания параллелепипеда (параллелограмма $ABCD$): $S_{ABD} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$.

Высота тетраэдра $A_1ABD$, опущенная из вершины $A_1$ на основание $ABD$, совпадает с высотой параллелепипеда $H$.

Таким образом, объем тетраэдра $A_1ABD$ равен:

$V_{A_1ABD} = \frac{1}{3} S_{ABD} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{2} S_{ABCD}) \cdot H = \frac{1}{6} (S_{ABCD} \cdot H) = \frac{1}{6} V_{пар}$.

Аналогично доказывается, что все четыре "угловых" тетраэдра имеют одинаковый объем, равный $\frac{1}{6} V_{пар}$. Например, для тетраэдра $BA_1B_1C_1$ основанием является треугольник $A_1B_1C_1$ на верхнем основании параллелепипеда ($S_{A_1B_1C_1} = \frac{1}{2} S_{A_1B_1C_1D_1} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$), а высота, опущенная из вершины $B$, равна высоте параллелепипеда $H$.

Суммарный объем четырех угловых тетраэдров составляет:

$V_{4 \text{ тетр.}} = 4 \cdot \frac{1}{6} V_{пар} = \frac{4}{6} V_{пар} = \frac{2}{3} V_{пар}$.

Теперь можем найти объем искомого тетраэдра $BDA_1C_1$, вычитая из объема параллелепипеда суммарный объем четырех угловых тетраэдров:

$V_{BDA_1C_1} = V_{пар} - V_{4 \text{ тетр.}} = V_{пар} - \frac{2}{3} V_{пар} = \frac{1}{3} V_{пар}$.

Подставляя известное значение объема параллелепипеда:

$V_{BDA_1C_1} = \frac{1}{3} \cdot 1 \text{ см}^3 = \frac{1}{3} \text{ см}^3$.

Ответ: $\frac{1}{3} \text{ см}^3$.