Номер 15.20, страница 91 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

15.20. Найдите объем правильной шестиугольной усеченной пирамиды, стороны оснований которой равны 2 см и 1 см, а высота равна 3 см (рис. 15.10).

Рис. 15.10

Объем усеченной пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3}h(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$, где $h$ – высота усеченной пирамиды, а $S_1$ и $S_2$ – площади ее оснований.

В основаниях данной пирамиды лежат правильные шестиугольники. Площадь правильного шестиугольника со стороной $a$ находится по формуле: $S = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$.

1. Найдем площадь большего основания ($S_1$), сторона которого по условию равна $a_1 = 2$ см.
$S_1 = \frac{3\sqrt{3}}{2}a_1^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 2^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 4 = 6\sqrt{3}$ см$^2$.

2. Найдем площадь меньшего основания ($S_2$), сторона которого по условию равна $a_2 = 1$ см.
$S_2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}a_2^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 1^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}$ см$^2$.

3. Найдем объем усеченной пирамиды. Высота пирамиды по условию $h = 3$ см. Подставим все найденные значения в формулу для объема:
$V = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot \left(6\sqrt{3} + \frac{3\sqrt{3}}{2} + \sqrt{6\sqrt{3} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2}}\right)$
$V = 1 \cdot \left(6\sqrt{3} + \frac{3\sqrt{3}}{2} + \sqrt{\frac{18 \cdot (\sqrt{3})^2}{2}}\right)$
$V = 6\sqrt{3} + \frac{3\sqrt{3}}{2} + \sqrt{\frac{18 \cdot 3}{2}}$
$V = 6\sqrt{3} + \frac{3\sqrt{3}}{2} + \sqrt{27}$
Так как $\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$, то:
$V = 6\sqrt{3} + \frac{3\sqrt{3}}{2} + 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3} + \frac{3\sqrt{3}}{2}$
Приведем слагаемые к общему знаменателю:
$V = \frac{18\sqrt{3}}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{21\sqrt{3}}{2}$ см$^3$.
Ответ: $\frac{21\sqrt{3}}{2}$ см$^3$.