Номер 15.24, страница 91 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

15.24. Объем четырехугольной пирамиды SABCD равен $1 \text{ см}^3$. Найдите объем пирамиды, вершинами основания которой являются середины сторон основания ABCD, а вершина совпадает с вершиной S данной пирамиды (рис. 15.12).

Рис. 15.12

Пусть $V_{SABCD}$ — объем исходной четырехугольной пирамиды $SABCD$, а $S_{ABCD}$ — площадь ее основания. По условию задачи, $V_{SABCD} = 1$ см³.

Объем пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

Таким образом, для данной пирамиды имеем:$V_{SABCD} = \frac{1}{3} S_{ABCD} \cdot h = 1 \text{ см}^3$.

Рассмотрим новую пирамиду. Ее вершина совпадает с вершиной $S$ исходной пирамиды. Основанием новой пирамиды является четырехугольник, вершины которого — середины сторон основания $ABCD$. Обозначим эти середины как $K, L, M, N$ (середины сторон $AB, BC, CD, DA$ соответственно). Новое основание — это четырехугольник $KLMN$.

Так как вершина $S$ у новой пирамиды та же, а ее основание $KLMN$ лежит в той же плоскости, что и основание $ABCD$, то высота новой пирамиды $h$ совпадает с высотой исходной.

Объем новой пирамиды $V_{SKLMN}$ будет равен:$V_{SKLMN} = \frac{1}{3} S_{KLMN} \cdot h$.

Для нахождения объема $V_{SKLMN}$ необходимо установить связь между площадью нового основания $S_{KLMN}$ и площадью исходного основания $S_{ABCD}$.

Четырехугольник $KLMN$, соединяющий середины сторон произвольного четырехугольника $ABCD$, является параллелограммом (теорема Вариньона). Его площадь можно найти, вычтя из площади $S_{ABCD}$ площади четырех угловых треугольников: $\triangle AKN$, $\triangle BKL$, $\triangle CML$ и $\triangle DMN$.

Рассмотрим диагональ $BD$ в четырехугольнике $ABCD$. Она делит его на два треугольника: $\triangle ABD$ и $\triangle BCD$.

В треугольнике $\triangle ABD$ отрезок $KN$ является средней линией, так как $K$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $AD$. Треугольник $\triangle AKN$ подобен треугольнику $\triangle ABD$ с коэффициентом подобия $\frac{1}{2}$. Отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия: $S_{\triangle AKN} = (\frac{1}{2})^2 S_{\triangle ABD} = \frac{1}{4} S_{\triangle ABD}$.

Аналогично, в треугольнике $\triangle BCD$ отрезок $LM$ — средняя линия. Площадь $\triangle CML$ равна $S_{\triangle CML} = \frac{1}{4} S_{\triangle BCD}$.

Сумма площадей этих двух угловых треугольников:$S_{\triangle AKN} + S_{\triangle CML} = \frac{1}{4} S_{\triangle ABD} + \frac{1}{4} S_{\triangle BCD} = \frac{1}{4} (S_{\triangle ABD} + S_{\triangle BCD}) = \frac{1}{4} S_{ABCD}$.

Теперь рассмотрим диагональ $AC$. Она делит $ABCD$ на $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$.

В $\triangle ABC$ отрезок $KL$ — средняя линия. Площадь $\triangle BKL$ равна $S_{\triangle BKL} = \frac{1}{4} S_{\triangle ABC}$.

В $\triangle ADC$ отрезок $MN$ — средняя линия. Площадь $\triangle DMN$ равна $S_{\triangle DMN} = \frac{1}{4} S_{\triangle ADC}$.

Сумма площадей двух других угловых треугольников:$S_{\triangle BKL} + S_{\triangle DMN} = \frac{1}{4} S_{\triangle ABC} + \frac{1}{4} S_{\triangle ADC} = \frac{1}{4} (S_{\triangle ABC} + S_{\triangle ADC}) = \frac{1}{4} S_{ABCD}$.

Общая площадь всех четырех угловых треугольников составляет:$S_{углов} = (\frac{1}{4} S_{ABCD}) + (\frac{1}{4} S_{ABCD}) = \frac{1}{2} S_{ABCD}$.

Следовательно, площадь основания новой пирамиды $S_{KLMN}$ равна:$S_{KLMN} = S_{ABCD} - S_{углов} = S_{ABCD} - \frac{1}{2} S_{ABCD} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$.

Теперь мы можем найти объем новой пирамиды $V_{SKLMN}$:$V_{SKLMN} = \frac{1}{3} S_{KLMN} \cdot h = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} S_{ABCD}) \cdot h = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{3} S_{ABCD} \cdot h)$.

Так как $\frac{1}{3} S_{ABCD} \cdot h = V_{SABCD} = 1 \text{ см}^3$, то:$V_{SKLMN} = \frac{1}{2} \cdot V_{SABCD} = \frac{1}{2} \cdot 1 \text{ см}^3 = 0,5 \text{ см}^3$.

Ответ: 0,5 см³.