Номер 15.28, страница 92 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

15.28. Ящик для засыпки картофеля имеет форму правильной четырехугольной усеченной пирамиды (рис. 15.15). Стороны оснований равны соответственно 6 дм и 14,4 дм. Высота пирамиды — 4,3 дм. Найти объем и массу картофеля, который может храниться в ящике, если $1 \text{ дм}^3$ массы клубней весит 0,675кг.

Рис. 15.15

Объем

Ящик для картофеля имеет форму правильной четырехугольной усеченной пирамиды. Объем такой фигуры ($V$) вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3}h(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1S_2})$ где $h$ — высота пирамиды, а $S_1$ и $S_2$ — площади ее оснований.

По условию, основаниями являются квадраты со сторонами $a_1 = 14,4$ дм и $a_2 = 6$ дм. Высота пирамиды $h = 4,3$ дм.

Сначала вычислим площади оснований: Площадь нижнего (большего) основания: $S_1 = a_1^2 = 14,4^2 = 207,36$ дм². Площадь верхнего (меньшего) основания: $S_2 = a_2^2 = 6^2 = 36$ дм².

Теперь найдем среднее геометрическое площадей: $\sqrt{S_1S_2} = \sqrt{207,36 \cdot 36} = \sqrt{7464,96} = 86,4$ дм². Это также можно вычислить как произведение сторон оснований: $a_1 \cdot a_2 = 14,4 \cdot 6 = 86,4$ дм².

Подставим все значения в формулу объема: $V = \frac{1}{3} \cdot 4,3 \cdot (207,36 + 36 + 86,4)$ $V = \frac{1}{3} \cdot 4,3 \cdot 329,76$ $V = 4,3 \cdot \frac{329,76}{3}$ $V = 4,3 \cdot 109,92 = 472,656$ дм³.

Ответ: Объем ящика равен $472,656$ дм³.

Масса картофеля

Известно, что масса 1 дм³ картофеля составляет 0,675 кг. Чтобы найти общую массу картофеля ($m$), который может храниться в ящике, необходимо умножить объем ящика на эту величину.

$m = V \cdot 0,675$ $m = 472,656 \text{ дм}^3 \cdot 0,675 \text{ кг/дм}^3 = 319,0428$ кг.

Ответ: Масса картофеля, который может храниться в ящике, составляет $319,0428$ кг.