Номер 15.27, страница 92 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

15.27. На фотографии виден жилой дом, у которого крыша имеет форму пирамиды с квадратным основанием (рис. 15.14). Все ребра пирамиды равны 12 м. Найдите объем крыши этого дома.

Рис. 15.14

Для нахождения объема крыши, которая имеет форму пирамиды, воспользуемся формулой объема пирамиды:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$

где $S_{осн}$ — это площадь основания пирамиды, а $H$ — ее высота.

По условию задачи, крыша представляет собой пирамиду с квадратным основанием, и все ее ребра равны 12 м. Это означает, что и стороны основания, и боковые ребра равны 12 м. Такая пирамида является правильной.

1. Вычисление площади основания

Основание пирамиды — это квадрат со стороной $a = 12$ м. Площадь квадрата вычисляется по формуле $S = a^2$.

$S_{осн} = 12^2 = 144$ м².

2. Вычисление высоты пирамиды

Высота $H$ правильной пирамиды опускается из ее вершины в центр квадрата, который является точкой пересечения его диагоналей. Рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются высота пирамиды $H$ и половина диагонали основания ($d/2$), а гипотенузой — боковое ребро пирамиды $l=12$ м.

Сначала найдем длину диагонали $d$ квадрата в основании по теореме Пифагора:

$d^2 = a^2 + a^2 = 12^2 + 12^2 = 144 + 144 = 288$

$d = \sqrt{288} = \sqrt{144 \cdot 2} = 12\sqrt{2}$ м.

Половина диагонали равна:

$\frac{d}{2} = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$ м.

Теперь, используя теорему Пифагора для треугольника, образованного высотой, половиной диагонали и боковым ребром, найдем высоту $H$:

$H^2 + (\frac{d}{2})^2 = l^2$

$H^2 = l^2 - (\frac{d}{2})^2 = 12^2 - (6\sqrt{2})^2 = 144 - (36 \cdot 2) = 144 - 72 = 72$

$H = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$ м.

3. Вычисление объема крыши

Теперь, когда у нас есть площадь основания и высота, мы можем вычислить объем пирамиды (крыши):

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 144 \cdot 6\sqrt{2}$

$V = 48 \cdot 6\sqrt{2} = 288\sqrt{2}$ м³.

Ответ: $288\sqrt{2}$ м³.