Номер 15.23, страница 91 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

15.23. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 1, а угол между боковой гранью и основанием равен $45^\circ$. Найдите объем пирамиды.

Объем пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Найдем площадь основания.

В основании правильной шестиугольной пирамиды лежит правильный шестиугольник. Его можно разбить на 6 одинаковых равносторонних треугольников со стороной $a$, равной стороне шестиугольника. По условию, $a = 1$.

Площадь одного такого равностороннего треугольника равна $S_{\triangle} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.

Подставим значение $a=1$:

$S_{\triangle} = \frac{1^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

Площадь всего шестиугольника (основания пирамиды) равна сумме площадей шести таких треугольников:

$S_{осн} = 6 \cdot S_{\triangle} = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$.

2. Найдем высоту пирамиды.

Угол между боковой гранью и основанием — это двугранный угол. В правильной пирамиде он измеряется как угол между апофемой боковой грани и апофемой основания, проведенными к одной и той же стороне основания.

Пусть $S$ — вершина пирамиды, $O$ — центр основания, $M$ — середина одной из сторон основания. Тогда $SO$ — это высота пирамиды $H$, $SM$ — апофема боковой грани, а $OM$ — апофема основания. Треугольник $SOM$ — прямоугольный ($\angle SO M = 90^\circ$), а угол $\angle SMO$ — это и есть угол между боковой гранью и основанием, который по условию равен $45^\circ$.

Апофема правильного шестиугольника $OM$ равна высоте равностороннего треугольника со стороной $a=1$:

$OM = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $SOM$. Мы знаем катет $OM$ и угол $\angle SMO = 45^\circ$. Найдем второй катет $SO = H$:

$\text{tg}(\angle SMO) = \frac{SO}{OM} \implies \text{tg}(45^\circ) = \frac{H}{OM}$.

Поскольку $\text{tg}(45^\circ) = 1$, получаем:

$1 = \frac{H}{OM} \implies H = OM = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

3. Вычислим объем пирамиды.

Теперь, зная площадь основания $S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$ и высоту $H = \frac{\sqrt{3}}{2}$, мы можем найти объем:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3})}{3 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{3 \cdot 3}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $V = \frac{3}{4}$.