Номер 15.19, страница 91 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

15.19. Найдите объем октаэдра с ребром, равным 1 см (рис. 15.9).

Рис. 15.9

Правильный октаэдр можно представить как две одинаковые правильные четырехугольные пирамиды, которые соединены своими квадратными основаниями. Ребро октаэдра $a$, по условию равное 1 см, является одновременно и стороной общего квадратного основания, и боковым ребром каждой из этих двух пирамид.

Объем всего октаэдра $V$ будет равен удвоенному объему одной пирамиды $V_{пир}$. Объем пирамиды вычисляется по формуле $V_{пир} = \frac{1}{3}S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

Сначала найдем площадь основания. Так как основание — это квадрат со стороной $a = 1$ см, его площадь равна: $S_{осн} = a^2 = 1^2 = 1$ см².

Теперь найдем высоту пирамиды $h$. Высота пирамиды — это перпендикуляр, опущенный из ее вершины на центр квадрата в основании. Рассмотрим прямоугольный треугольник, который образуют высота пирамиды $h$ (катет), половина диагонали квадрата в основании (второй катет) и боковое ребро $a$ (гипотенуза).

Длина диагонали квадрата $d$ со стороной $a$ вычисляется по формуле $d = a\sqrt{2}$. Для $a = 1$ см, диагональ $d = \sqrt{2}$ см. Следовательно, половина диагонали равна $\frac{d}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

Применим теорему Пифагора для нахождения высоты $h$: $h^2 + (\frac{d}{2})^2 = a^2$ $h^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = 1^2$ $h^2 + \frac{2}{4} = 1$ $h^2 + \frac{1}{2} = 1$ $h^2 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ $h = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

Теперь можно вычислить объем одной пирамиды: $V_{пир} = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{6}$ см³.

Объем октаэдра равен объему двух таких пирамид: $V = 2 \cdot V_{пир} = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{6} = \frac{2\sqrt{2}}{6} = \frac{\sqrt{2}}{3}$ см³.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{3}$ см³.