Номер 15.26, страница 92 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

15.26 Одно из самых грандиозных сооружений древности – пирамида Хеопса (рис. 15.13) – имеет форму правильной четырехугольной пирамиды с высотой 146 м и боковым ребром 230 м. Найдите объем этой пирамиды.

Рис. 15.13

Для нахождения объема правильной четырехугольной пирамиды воспользуемся формулой:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$

где $V$ — объем пирамиды, $S_{осн}$ — площадь основания, $H$ — высота пирамиды.

По условию задачи нам известны высота пирамиды $H = 146$ м и длина бокового ребра $L = 230$ м. Основанием правильной четырехугольной пирамиды является квадрат.

Для вычисления объема нам необходимо найти площадь основания $S_{осн}$. Пусть сторона квадрата, лежащего в основании, равна $a$, тогда $S_{осн} = a^2$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, боковым ребром $L$ и половиной диагонали основания $\frac{d}{2}$. В этом треугольнике боковое ребро $L$ является гипотенузой. По теореме Пифагора:

$L^2 = H^2 + (\frac{d}{2})^2$

Отсюда можем найти квадрат половины диагонали:

$(\frac{d}{2})^2 = L^2 - H^2$

Подставим известные значения:

$(\frac{d}{2})^2 = 230^2 - 146^2 = 52900 - 21316 = 31584 \text{ м}^2$

Диагональ $d$ квадрата со стороной $a$ связана соотношением $d = a\sqrt{2}$. Следовательно, половина диагонали равна $\frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Возведем это выражение в квадрат:

$(\frac{d}{2})^2 = (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{a^2 \cdot 2}{4} = \frac{a^2}{2}$

Мы нашли, что $(\frac{d}{2})^2 = 31584$, значит:

$\frac{a^2}{2} = 31584$

Площадь основания $S_{осн} = a^2 = 2 \cdot 31584 = 63168 \text{ м}^2$.

Теперь, когда у нас есть площадь основания и высота, мы можем вычислить объем пирамиды:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 63168 \cdot 146$

$V = 21056 \cdot 146 = 3074176 \text{ м}^3$

Ответ: $3074176 \text{ м}^3$.