Номер 15.29, страница 92 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

15.29. Повторите определения конуса и усеченного конуса.

Определение конуса

Конус (в стереометрии чаще всего имеется в виду прямой круговой конус) — это тело вращения, которое образуется при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. Катет, вокруг которого происходит вращение, является осью конуса и его высотой ($h$). Другой катет образует основание конуса — круг радиуса ($r$), равного длине этого катета. Гипотенуза треугольника, вращаясь, описывает боковую поверхность конуса, и её длина называется образующей ($l$).

Таким образом, элементами конуса являются: вершина (точка, противоположная основанию), основание (круг), боковая поверхность, образующие, высота и радиус. Для прямого кругового конуса высота, радиус и образующая связаны соотношением из теоремы Пифагора: $l^2 = h^2 + r^2$. Объем конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$, а площадь боковой поверхности — $S_{бок} = \pi r l$.

Ответ: Конус – это геометрическое тело, состоящее из круга (основания), точки, не лежащей в плоскости этого круга (вершины), и всех отрезков (образующих), соединяющих вершину с точками окружности основания.

Определение усеченного конуса

Усеченный конус — это часть конуса, которая находится между его основанием и плоскостью, проведенной параллельно основанию. Усеченный конус также является телом вращения. Его можно получить, вращая прямоугольную трапецию вокруг её боковой стороны, которая перпендикулярна основаниям трапеции.

Усеченный конус имеет два основания: нижнее и верхнее. Оба основания являются кругами, но с разными радиусами, которые обозначаются как $R$ (радиус большего, нижнего основания) и $r$ (радиус меньшего, верхнего основания). Расстояние между плоскостями оснований — это высота усеченного конуса ($h$). Часть образующей исходного конуса, заключенная между основаниями, называется образующей усеченного конуса ($l$). Для прямого усеченного конуса все образующие равны, и их длина вычисляется по формуле $l = \sqrt{h^2 + (R-r)^2}$. Объем усеченного конуса равен $V = \frac{1}{3}\pi h(R^2 + Rr + r^2)$, а площадь боковой поверхности — $S_{бок} = \pi (R+r)l$.

Ответ: Усеченный конус — это тело, ограниченное двумя параллельными кругами (основаниями) и боковой поверхностью, полученное путем пересечения конуса плоскостью, параллельной его основанию.