Номер 16.4, страница 94 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

16.4. Объем конуса равен $V$. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту пополам. В каком отношении находятся объемы полученных частей конуса?

Пусть исходный конус имеет объем $V$, высоту $H$ и радиус основания $R$. Его объем выражается формулой: $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$.

Сечение, проведенное параллельно основанию, отсекает от исходного конуса меньший конус, который подобен исходному. По условию задачи, плоскость сечения делит высоту исходного конуса пополам. Следовательно, высота малого конуса, обозначим ее $h_{малый}$, равна половине высоты исходного конуса $H$.

$h_{малый} = \frac{H}{2}$

Коэффициент подобия $k$ малого конуса к исходному равен отношению их линейных размеров, например, высот:

$k = \frac{h_{малый}}{H} = \frac{H/2}{H} = \frac{1}{2}$

Известно, что отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента их подобия. Обозначим объем малого конуса как $V_{малый}$. Тогда отношение его объема к объему исходного конуса $V$ равно:

$\frac{V_{малый}}{V} = k^3 = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$

Отсюда мы можем выразить объем малого конуса через объем исходного конуса:

$V_{малый} = \frac{1}{8}V$

Исходный конус был разделен на две части: малый конус (верхняя часть) и усеченный конус (нижняя часть). Объем усеченного конуса $V_{усеч}$ можно найти, вычтя из объема исходного конуса объем малого конуса:

$V_{усеч} = V - V_{малый} = V - \frac{1}{8}V = \frac{7}{8}V$

Теперь найдем, в каком отношении находятся объемы полученных частей. Для этого разделим объем малого конуса на объем усеченного конуса:

$\frac{V_{малый}}{V_{усеч}} = \frac{\frac{1}{8}V}{\frac{7}{8}V} = \frac{1}{7}$

Таким образом, объемы полученных частей относятся как 1 к 7.

Ответ: 1:7.