Страница 94 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Вопросы

1. Как вычисляется объем конуса?

2. Как вычисляется объем усеченного конуса?

1. Как вычисляется объем конуса?
Объем конуса — это величина, характеризующая пространство, занимаемое этим геометрическим телом. Он вычисляется как одна треть произведения площади его основания на высоту. Основание конуса представляет собой круг, площадь которого $S_{осн}$ находится по формуле $S_{осн} = \pi R^2$, где $R$ — радиус этого круга. Высота конуса $H$ — это длина перпендикуляра, опущенного из вершины конуса на плоскость его основания. Таким образом, общая формула для объема конуса $V$ выглядит так: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$. После подстановки формулы площади основания в это выражение получается окончательная, наиболее часто используемая формула.
Ответ: Объем конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$, где $R$ — радиус основания конуса, а $H$ — его высота.

2. Как вычисляется объем усеченного конуса?
Усеченный конус — это часть полного конуса, которая находится между его основанием и секущей плоскостью, параллельной этому основанию. Таким образом, усеченный конус имеет два основания — нижнее (большее) и верхнее (меньшее), оба из которых являются кругами. Для вычисления его объема необходимо знать радиусы обоих оснований и высоту. Пусть $R$ — это радиус нижнего основания, $r$ — это радиус верхнего основания, а $H$ — это высота усеченного конуса (перпендикулярное расстояние между плоскостями оснований). Объем усеченного конуса можно найти как разность объемов большого конуса, из которого он был получен, и малого конуса, который был отсечен. Однако для практических расчетов удобнее использовать прямую формулу, которая связывает все три параметра.
Ответ: Объем усеченного конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} \pi H (R^2 + Rr + r^2)$, где $R$ и $r$ — радиусы нижнего и верхнего оснований соответственно, а $H$ — высота усеченного конуса.

16.1 Во сколько раз увеличится объем конуса, если:

а) высоту увеличить в три раза;

б) радиус основания увеличить в два раза?

Для решения задачи используется формула объема конуса: $V = \frac{1}{3} \pi R^2 h$, где $V$ — объем, $R$ — радиус основания, а $h$ — высота конуса.

а)Пусть исходный объем конуса $V_1 = \frac{1}{3} \pi R^2 h_1$.По условию, высоту увеличили в три раза, значит, новая высота $h_2 = 3h_1$. Радиус основания $R$ при этом не изменился.Новый объем конуса $V_2$ будет равен:$V_2 = \frac{1}{3} \pi R^2 h_2 = \frac{1}{3} \pi R^2 (3h_1) = 3 \cdot (\frac{1}{3} \pi R^2 h_1) = 3V_1$.Чтобы определить, во сколько раз увеличился объем, найдем отношение нового объема к исходному:$\frac{V_2}{V_1} = \frac{3V_1}{V_1} = 3$.Таким образом, объем конуса увеличится в 3 раза.
Ответ: в 3 раза.

б)Пусть исходный объем конуса $V_1 = \frac{1}{3} \pi R_1^2 h$.По условию, радиус основания увеличили в два раза, значит, новый радиус $R_2 = 2R_1$. Высота $h$ при этом не изменилась.Новый объем конуса $V_2$ будет равен:$V_2 = \frac{1}{3} \pi R_2^2 h = \frac{1}{3} \pi (2R_1)^2 h = \frac{1}{3} \pi (4R_1^2) h = 4 \cdot (\frac{1}{3} \pi R_1^2 h) = 4V_1$.Чтобы определить, во сколько раз увеличился объем, найдем отношение нового объема к исходному:$\frac{V_2}{V_1} = \frac{4V_1}{V_1} = 4$.Таким образом, объем конуса увеличится в 4 раза.
Ответ: в 4 раза.

16.2. Изменится ли объем конуса, если радиус основания увеличить в два раза, а высоту уменьшить в два раза?

Для того чтобы определить, изменится ли объем конуса, необходимо сравнить его первоначальный объем с объемом после внесения изменений в его параметры.

Формула для вычисления объема конуса имеет вид: $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$, где $R$ — это радиус основания конуса, а $H$ — его высота.

Обозначим первоначальный радиус как $R_1$, а первоначальную высоту как $H_1$. Тогда первоначальный объем конуса, $V_1$, равен:
$V_1 = \frac{1}{3}\pi R_1^2 H_1$

Согласно условию задачи, радиус основания увеличивают в два раза, а высоту уменьшают в два раза. Найдем новые значения радиуса ($R_2$) и высоты ($H_2$):
$R_2 = 2 \cdot R_1$
$H_2 = \frac{H_1}{2}$

Теперь вычислим новый объем конуса, $V_2$, используя новые значения $R_2$ и $H_2$:
$V_2 = \frac{1}{3}\pi R_2^2 H_2 = \frac{1}{3}\pi (2R_1)^2 \left(\frac{H_1}{2}\right)$

Раскроем скобки и упростим выражение:
$V_2 = \frac{1}{3}\pi (4R_1^2) \left(\frac{H_1}{2}\right) = \frac{4}{2} \cdot \left(\frac{1}{3}\pi R_1^2 H_1\right) = 2 \cdot \left(\frac{1}{3}\pi R_1^2 H_1\right)$

Поскольку выражение в скобках равно первоначальному объему $V_1$, мы можем записать:
$V_2 = 2 \cdot V_1$

Таким образом, новый объем конуса в два раза больше первоначального.

Ответ: Да, объем конуса изменится — он увеличится в два раза.

16.3. Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Вычислите объем конуса, если объем цилиндра равен $15 \text{ см}^3$.

16.4. 25

16.3. Обозначим радиус общего основания цилиндра и конуса как $r$, а их общую высоту как $h$.

Объем цилиндра ($V_{цил}$) вычисляется по формуле: $V_{цил} = S_{осн} \cdot h = \pi r^2 h$

Объем конуса ($V_{кон}$) вычисляется по формуле: $V_{кон} = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \pi r^2 h$

Сравнивая эти две формулы, мы видим, что объем конуса в три раза меньше объема цилиндра при условии, что у них одинаковые основание и высота. Можно записать это соотношение так: $V_{кон} = \frac{1}{3} V_{цил}$

По условию задачи, объем цилиндра $V_{цил} = 15 \text{ см}^3$. Подставим это значение в полученное соотношение, чтобы найти объем конуса: $V_{кон} = \frac{1}{3} \cdot 15 \text{ см}^3 = 5 \text{ см}^3$

Ответ: 5 см³.

16.4. Объем конуса равен $V$. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту пополам. В каком отношении находятся объемы полученных частей конуса?

Пусть исходный конус имеет объем $V$, высоту $H$ и радиус основания $R$. Его объем выражается формулой: $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$.

Сечение, проведенное параллельно основанию, отсекает от исходного конуса меньший конус, который подобен исходному. По условию задачи, плоскость сечения делит высоту исходного конуса пополам. Следовательно, высота малого конуса, обозначим ее $h_{малый}$, равна половине высоты исходного конуса $H$.

$h_{малый} = \frac{H}{2}$

Коэффициент подобия $k$ малого конуса к исходному равен отношению их линейных размеров, например, высот:

$k = \frac{h_{малый}}{H} = \frac{H/2}{H} = \frac{1}{2}$

Известно, что отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента их подобия. Обозначим объем малого конуса как $V_{малый}$. Тогда отношение его объема к объему исходного конуса $V$ равно:

$\frac{V_{малый}}{V} = k^3 = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$

Отсюда мы можем выразить объем малого конуса через объем исходного конуса:

$V_{малый} = \frac{1}{8}V$

Исходный конус был разделен на две части: малый конус (верхняя часть) и усеченный конус (нижняя часть). Объем усеченного конуса $V_{усеч}$ можно найти, вычтя из объема исходного конуса объем малого конуса:

$V_{усеч} = V - V_{малый} = V - \frac{1}{8}V = \frac{7}{8}V$

Теперь найдем, в каком отношении находятся объемы полученных частей. Для этого разделим объем малого конуса на объем усеченного конуса:

$\frac{V_{малый}}{V_{усеч}} = \frac{\frac{1}{8}V}{\frac{7}{8}V} = \frac{1}{7}$

Таким образом, объемы полученных частей относятся как 1 к 7.

Ответ: 1:7.

16.5. Высота конуса 3 см, образующая 5 см. Найдите его объем.

16.6. Найдите объем части конуса, изображенной на рисунке, 10

16.5. Для нахождения объема конуса используется формула:

$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$

где $V$ – объем, $r$ – радиус основания, а $h$ – высота конуса.

В условии задачи даны высота $h = 3$ см и образующая $l = 5$ см. Радиус основания $r$ неизвестен. Высота, радиус и образующая конуса образуют прямоугольный треугольник, в котором образующая является гипотенузой, а высота и радиус – катетами. Согласно теореме Пифагора:

$l^2 = h^2 + r^2$

Выразим и найдем квадрат радиуса $r^2$:

$r^2 = l^2 - h^2$

Подставим известные значения:

$r^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16$

Отсюда радиус $r = \sqrt{16} = 4$ см.

Теперь мы можем рассчитать объем конуса, подставив значения $r^2 = 16$ и $h = 3$ в формулу объема:

$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 16 \cdot 3$

Сократив 3 в числителе и знаменателе, получаем:

$V = 16\pi$ см³.

Ответ: $16\pi$ см³.

16.6. Найдите объем части конуса, изображенной на рисунке 16.3, если радиус основания конуса равен 3 см, высота равна 6 см, $\angle AOB = 60^\circ$.

Рис. 16.3

Для нахождения объема части конуса, нужно сначала вычислить объем всего конуса, а затем определить, какую долю от него составляет указанная часть.

1. Объем конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$, где $R$ – радиус основания, а $H$ – высота.

По условию задачи, радиус основания $R = 3$ см, а высота $H = 6$ см. Подставим эти значения в формулу, чтобы найти объем всего конуса:

$V_{конуса} = \frac{1}{3} \pi \cdot (3 \text{ см})^2 \cdot 6 \text{ см} = \frac{1}{3} \pi \cdot 9 \text{ см}^2 \cdot 6 \text{ см} = 18\pi \text{ см}^3$.

2. Искомая часть конуса ограничена сектором в основании с центральным углом $\angle AOB = 60^\circ$. Полный угол окружности основания составляет $360^\circ$.

Найдем, какую долю от полного конуса составляет данная часть. Эта доля равна отношению угла сектора к полному углу окружности:

$\frac{60^\circ}{360^\circ} = \frac{1}{6}$.

3. Теперь найдем объем части конуса, умножив объем всего конуса на полученную долю:

$V_{части} = V_{конуса} \cdot \frac{1}{6} = 18\pi \text{ см}^3 \cdot \frac{1}{6} = 3\pi \text{ см}^3$.

Ответ: $3\pi$ см³.

16.7. Найдите объем части конуса, изображенной на рисунке 16.4, если радиус основания конуса равен 2 см, высота равна 3 см, $ \angle AOB = 90^\circ $.

Рис. 16.4

Для решения этой задачи сначала вычислим объем всего конуса, а затем найдем объем его части, соответствующей сектору с центральным углом $90^\circ$.

Объем конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$, где $R$ — радиус основания, а $H$ — высота конуса.

Из условия задачи нам даны:

• Радиус основания $R = 2$ см.
• Высота конуса $H = 3$ см.

Подставим эти значения в формулу для нахождения объема всего конуса:

$V_{конуса} = \frac{1}{3} \pi \cdot (2 \text{ см})^2 \cdot 3 \text{ см} = \frac{1}{3} \pi \cdot 4 \text{ см}^2 \cdot 3 \text{ см} = 4\pi \text{ см}^3$.

Изображенная на рисунке часть конуса соответствует сектору в основании с центральным углом $\angle AOB = 90^\circ$. Полный угол окружности составляет $360^\circ$. Следовательно, данная часть составляет долю от всего конуса, равную отношению этих углов:

$\frac{90^\circ}{360^\circ} = \frac{1}{4}$

Чтобы найти объем этой части конуса, нужно умножить объем всего конуса на эту долю:

$V_{части} = V_{конуса} \cdot \frac{1}{4} = 4\pi \text{ см}^3 \cdot \frac{1}{4} = \pi \text{ см}^3$.

Ответ: $\pi$ см³.

16.8. Найдите объем усеченного конуса, радиусы оснований которого равны 1 см и 2 см, а высота равна 3 см.

Для нахождения объема усеченного конуса используется формула: $V = \frac{1}{3}\pi h (R^2 + Rr + r^2)$, где $h$ — высота, $R$ — радиус большего основания, а $r$ — радиус меньшего основания.

По условию задачи нам даны следующие значения:

Радиус большего основания $R = 2$ см.

Радиус меньшего основания $r = 1$ см.

Высота $h = 3$ см.

Подставим эти значения в формулу и выполним вычисления:

$V = \frac{1}{3}\pi \cdot 3 \cdot (2^2 + 2 \cdot 1 + 1^2)$

Сократим множители $\frac{1}{3}$ и $3$:

$V = \pi \cdot (2^2 + 2 \cdot 1 + 1^2)$

Вычислим выражение в скобках:

$V = \pi \cdot (4 + 2 + 1)$

$V = \pi \cdot 7$

$V = 7\pi$ (см³)

Ответ: $7\pi$ см³.